Kořen (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 15. 8. 2022, 16:22

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty.

Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0. Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Obsah

1 Kořen polynomu
- 1.1 Metody výpočtu
  - 1.1.1 Přímo
  - 1.1.2 Aproximací
2 Příklady
3 Související články

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (x − a) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom \(x^2+1\) nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla \(\pm i\)).

Metody výpočtu

Přímo

Je-li \(P(x)\) lineární polynom (tedy \(P(x) = ax + b\), kde \(a \neq 0\) a \(b\) jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo \(x_0=-\frac{b}{a}\)
Jde-li o kvadratický polynom (\(P(x) = ax^2 + bx + c\)), pak existují obecně dva kořeny \(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací

Najdeme-li dva body \(x_1\) a \(x_2\), pro které platí \({\operatorname{sgn}}(P(x_1)) = -{\operatorname{sgn}}(P(x_2))\) kde \({\operatorname{sgn}}\) značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno \(P(x_1)P(x_2)<0\)), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu \((x_1,x_2)\) (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady

Kořenem funkce (polynomu) \(f(x) = x^2 + 6x + 9\) je číslo −3, protože f(-3) = 0.
Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na \((x + 3)^2\).
Funkce \(f(x) = e^x\) (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
Funkce \(f(x) = sin (x)\) (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 6: / Řádka 6: @@
 [[Polynom]] jedné proměnné stupně ''n'' s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše ''n'' různých komplexních kořenů. Je-li totiž ''a'' kořenem polynomu ''P''(''x''), pak (''x'' − ''a'') dělí ''P''(''x''), a tedy ''P(x)/(x-a)'' je polynom stupně ''n-1''.
-Podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]] má každý polynom jedné proměnné stupně ''n'' s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě ''n'' kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom <big>\(x^2+1</math> nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla <big>\(\pm i</math>).
+Podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]] má každý polynom jedné proměnné stupně ''n'' s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě ''n'' kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom <big>\(x^2+1\)</big> nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla <big>\(\pm i\)</big>).
 === Metody výpočtu ===
 ==== Přímo ====
-* Je-li <big>\(P(x)</math> lineární polynom (tedy <big>\(P(x) = ax + b</math>, kde <big>\(a \neq 0</math> a <big>\(b</math> jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo <big>\(x_0=-\frac{b}{a}</math>
+* Je-li <big>\(P(x)\)</big> lineární polynom (tedy <big>\(P(x) = ax + b\)</big>, kde <big>\(a \neq 0\)</big> a <big>\(b\)</big> jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo <big>\(x_0=-\frac{b}{a}\)</big>
-* Jde-li o [[kvadratická rovnice|kvadratický polynom]] (<big>\(P(x) = ax^2 + bx + c</math>), pak existují obecně dva kořeny <big>\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>.
+* Jde-li o [[kvadratická rovnice|kvadratický polynom]] (<big>\(P(x) = ax^2 + bx + c\)</big>), pak existují obecně dva kořeny <big>\(x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)</big>.
 * Pro výpočet kořenů [[Kubická rovnice|kubického polynomu]] existují např. [[Cardanovy vzorce]].
 ==== Aproximací ====
-Najdeme-li dva body <big>\(x_1</math> a <big>\(x_2</math>, pro které platí <big>\(\sgn(P(x_1)) = -\sgn(P(x_2))</math> kde <big>\(\sgn</math> značí znaménkovou funkci [[Funkce signum|signum]] (jinak řečeno <big>\(P(x_1)P(x_2)<0</math>), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu <big>\((x_1,x_2)</math> (viz [[Bolzanova věta]]). Tento kořen lze najít metodou [[půlení intervalů]] nebo [[Metoda tečen|metodou tečen]]
+Najdeme-li dva body <big>\(x_1\)</big> a <big>\(x_2\)</big>, pro které platí <big>\({\operatorname{sgn}}(P(x_1)) = -{\operatorname{sgn}}(P(x_2))\)</big> kde <big>\({\operatorname{sgn}}\)</big> značí znaménkovou funkci [[Funkce signum|signum]] (jinak řečeno <big>\(P(x_1)P(x_2)<0\)</big>), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu <big>\((x_1,x_2)\)</big> (viz [[Bolzanova věta]]). Tento kořen lze najít metodou [[půlení intervalů]] nebo [[Metoda tečen|metodou tečen]]
 == Příklady ==
-* Kořenem funkce (polynomu) <big>\(f(x) = x^2 + 6x + 9</math> je číslo −3, protože ''f''(-3) = 0.<br />Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na <big>\((x + 3)^2</math>.
+* Kořenem funkce (polynomu) <big>\(f(x) = x^2 + 6x + 9\)</big> je číslo −3, protože ''f''(-3) = 0.<br />Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na <big>\((x + 3)^2\)</big>.
-* Funkce <big>\(f(x) = e^x</math> (viz [[Eulerovo číslo]]) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
+* Funkce <big>\(f(x) = e^x\)</big> (viz [[Eulerovo číslo]]) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
-* Funkce <big>\(f(x) = sin (x)</math> (viz [[sinus]]) má [[nekonečná množina|nekonečně]] mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru ''kπ'', kde ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] a ''k'' libovolné [[celé číslo]].
+* Funkce <big>\(f(x) = sin (x)\)</big> (viz [[sinus]]) má [[nekonečná množina|nekonečně]] mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru ''kπ'', kde ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] a ''k'' libovolné [[celé číslo]].
 == Související články ==