Harmonická posloupnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 22:01

Posloupnost se nazývá harmonická, jestliže převrácené hodnoty jejích členů tvoří nenulovou aritmetickou posloupnost.

Tedy posloupnost daná předpisem

\(a_n = \frac 1 {cn+d}\), kde \(n \in \mathbb{N},\; c, d \in \mathbb{R},\; c \ne 0, d\ne 0\)

je harmonická.

Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat projektivní rozšíření reálné přímky o nevlastní bod \(\infty\).

Příklad

Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel \(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots\) nebo posloupnost \((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty\) je harmonická.

Název souvisí s hudební harmonií, v přirozeném ladění jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly.

Vlastnosti

Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován).

Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je \(+\infty\) nebo \( -\infty\), což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s harmonickou řadou.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Tedy posloupnost daná předpisem
-<big>\(a_n = \frac 1 {cn+d}</math>,  kde <big>\(n \isin \mathbb{N},\; c, d \isin \mathbb{R},\; c \ne 0,  d\ne 0</math>
+<big>\(a_n = \frac 1 {cn+d}\)</big>,  kde <big>\(n \in \mathbb{N},\; c, d \in \mathbb{R},\; c \ne 0,  d\ne 0\)</big>
 je harmonická.
-Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat [[projektivní přímka|projektivní rozšíření reálné přímky]] o nevlastní bod <big>\(\infty</math>.
+Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat [[projektivní přímka|projektivní rozšíření reálné přímky]] o nevlastní bod <big>\(\infty\)</big>.
 ==Příklad==
-Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel <big>\(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots</math> nebo posloupnost <big>\((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty</math> je harmonická.
+Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel <big>\(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots\)</big> nebo posloupnost <big>\((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty\)</big> je harmonická.
 Název souvisí s hudební [[harmonie|harmonií]], v [[přirozené ladění|přirozeném ladění]] jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly.
@@ Řádka 17: / Řádka 17: @@
 Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je [[harmonický průměr|harmonickým průměrem]] sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován).
-Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je <big>\(+\infty</math> nebo <big>\( -\infty</math>, což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s [[harmonická řada|harmonickou řadou]].
+Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je <big>\(+\infty\)</big> nebo <big>\( -\infty\)</big>, což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s [[harmonická řada|harmonickou řadou]].
 ==Související články==