Spirála

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Spirála je rovinná křivka, která představuje trajektorii bodů pohybujících se po přímce podle daného pravidla, zatímco přímka se otáčí konstantní rychlostí kolem pevného bodu. Jedná se tedy o množiny bodů, jejichž vzdálenost \(\rho\) od pevného bodu \(O\) je funkcí velikosti úhlu \(\alpha\), který svírá rádiusvektor bodu spirály s pevně danou polopřímkou s počátkem v bodě \(O\). K popisu spirál je tedy vhodné vyjádření v polárních souřadnicích \(\rho = f(\alpha)\).

Archimédova spirála

Archimédova spirála

Se spirálami je možno se setkat prakticky všude. Jedním z prvních, kdo před 2300 lety popsal tuto křivku, byl Archimédes. Tzv. Archimédova spirála se vyskytuje např. jako trajektorie pohybu bodu, který se pohybuje po polopřímce od jejího počátečního bodu v pólu O konstantní rychlostí, zatímco polopřímka se sama otáčí kolem pólu při konstantní úhlové rychlosti . Archimédova spirála se také vyskytuje v různých mechanismech ve strojnictví jako tzv. Archimédův šroub (technicky se této křivce říká závitnice). Na jejím principu pracují vrtáky, šrouby a různé šroubky. Tvaru spirály se říká helix a právě takové spirály se asi nejčastěji vyskytují v technické praxi. Také popínavé rostliny šplhají ke Slunci se závity tvaru helix tak, jak tuto spirálu popsal Archimédes.

Konstrukce bodů spirály

Po jedné otáčce průvodiče o úhel 2π je vzdálenost bodu A od počátku rovna r0. Rozdělme úhel 2π na n stejných dílů a na stejný počet dílů rozdělme i úsečku r0. Na jednotlivé průvodiče naneseme od počátku 0 postupně délky r0/n, 2r0/n,... . Krajní body takto vzniklých úseček patří Archimédově spirále. Velikost posunutí aα bodu A na průvodiči při jeho otočení o interval α se nazývá parametr aα spirály. Délku oblouku Archimédovy spirály lze určit ze vztahu

\(s = \frac{k}{2}\left(\alpha\sqrt{\alpha^2+1} + \operatorname{arcsinh}\alpha\right)\)

Poloměr křivosti Archimédovy spirály je

\(R = \frac{{(k^2+\rho^2)}^\frac{3}{2}}{2k^2+\rho^2} = \frac{k{(\alpha^2+1)}^\frac{3}{2}}{\alpha^2+2}\)

Délka Archimédovy spirály Je konečná a určíme ji užitím vztahu pro výpočet délky křivky v parametrickém vyjádření. Určíme délku spirály od počátku do nějakého bodu A na spirále, jehož poloha je dána polárními souřadnicemi r,ʊ . Nejprve určíme ẋ = a cos t − at sin t, ẏ = a sin t + at cos t. Dále je √((ẋ )^2 + (ẏ)^2)) = a(1 + t). Po dosazení do vztahu je

Logaritmická spirála

1. Historie
První, kdo se zabýval problematikou logaritmické spirály a zkoumal jí, byl René Descartes(1596-1650) přibližně kolem roku 1638. Nezávisle na něm zkoumal křivku také Evangelista Toriccelli (1608 - 1647). Ten našel vzorec pro výpočet délky křivky. Byla to oblíbená křivka Jakoba Bernoulliho (1654 - 1705) - dokonce si nechal vyzdobit hrobku ornamenty ve tvaru logaritmické spirály a vytesat si na ní epitaf “Edem mutata resurgo”, což znamená “Ač změněn, stále zůstává stejný”. Text charakterizuje i Bernoulliho oblíbenou křivku. Dalšı názvy jsou Fibbonaciho spirála, ekvalingulární spirála, růstová spirála, Bernoulliho spirála nebo Spira mirabilis. 2. Popis spirály

Logaritmicka spirala

Logaritmická spirála je křivka, jejíž poloměr r roste exponenciálně s velikostí úhlu Polární rovnice logaritmické spirály je:
r = a · e^bφ
r je poloměr - vektor spojující pól spirály P (pojem pólu je vysvětlen níže) a bod ležící na spiráale - B; (r je funkce r(φ))
φ je úhel příslušný příslušnému bodu B spirály
a, b jsou konstantní parametry

'''Tečný úhel''' (budeme ho značit T ) je úhel, který svírá pro daný bod spirály vektor poloměru s tečnou ve stejném bodě.
Důležitými body spirály jsou pól a počátek. Pól je bod, ze kterého by “vycházela” spirála v případě, kdyby se parametr a→0; v podstatě jde o pomyslný střed spirály. Pól se dá také popsat jako bod, kde se protnou všechny vektory poloměru - přímky vedené libovolnými body logaritmické spirály, každá svírající v daném bodě s příslušnou tečnou stejný tečný úhel.
V kartézských souřadnicích pro neposunutou křivku je pólem počátek souřadné soustavy [0,0]. Počátek spirály je bod,ze kterého se začíná spirála vykreslovat, pro neposunutou spirálu se nachází v místě [a, 0].

Další možné vyjadření rovnice logaritmické spirály získáme jednoduchou úpravou:

ln r/a = bφ

Z tohoto vztahu také vznikl název křivky “logaritmická spirála” 3. Délka logaritmické spirály Délka logaritmické spirály je konečná. Ukážeme si postup, jak ji můžeme vypočítat. Na spirále zvolíme libovolný bod A, jehož poloha je dána polárními souřadnicemi r,ʊ . Délku spirály budeme určovat od jejího počátku do bodu A . K dosazení do vztahu je třeba určit Dále určíme Potom

Hyperbolická spirála

Hyperbolickou spirálu objevil Piere Varignon v roce 1704. Dále ji pak studoval Johann Bernoulli v letech 1710–1713 a též Cotes v roce 1722. Konstrukce hyperbolické spirály Abychom sestrojili graf křivky,přepíšeme její rovnici na tvar a = rφ.Z faktu, že rφ = konst.,vyplývá následující způsob konstrukce spirály, který je níže popsán. Sestrojíme řadu soustředných kružnic se středem v pólu a na každou kružnici naneseme od jejího průsečíku s polární osou oblouk délky a. Délka každého oblouku se rovná součinu příslušného úhlu φ s poloměrem r kružnice, tj. rφ; krajní bod každého oblouku, který tak obdržíme, tedy bude bod, který náleží spirále . Závisle na tom, jak se bod spirály vzdaluje od pólu, se poloměry kružnic zvětšují, oblouk se neustále narovnává a blíží se tvaru úsečky, která je kolmá k polární ose. To ukazuje, že body spirály se při přibližování úhlu φ k O blíží přímce, která je rovnoběžná s polární osou a prochází od ní ve vzdálenosti a. Vzdálenost bodů spirály od této přímky se stále zmenšuje, nikdy však nepřejde v nulu. V tomto případě říkáme, že se spirála asymptoticky blíží ke zmíněné přímce. Pro záporné úhly φ dostáváme spirálu, která je souměrná s právě vyšetřovanou podle přímky procházející pólem kolmo k polární ose. Pokud bychom chtěli znázornit hyperbolickou spirálu graficky pomocí počítače, je výhodné přejít k parametrickému vyjádření, tj. x =(a/t) cos t, y =(a/t) sin t. Hyperbolická spirála je určena rovnicí

\(\rho = \frac{k}{\alpha}\)

pro \(k>0\). Parametrický zápis :

\(x = a {\cos t \over t}, \qquad y = a {\sin t \over t},\)

Hyperbolická spirála má asymptotu \(y=a\) když:

\(\lim_{t\to 0}x = a\lim_{t\to 0}{\cos t \over t}=\infty,\)

\(\lim_{t\to 0}y = a\lim_{t\to 0}{\sin t \over t}=a\cdot 1=a.\)

Hyperbolická spirála je inverzní křivka k Archimédově spirále.

Fermatova spirála

Tuto spirálu navrhl Fermat v roce 1636. Je spirála, která je popsána rovnicí r² = a²ɸ. Pro nějakou kladnou hodnotu ɸ existují dvě odpovídající hodnoty r – kladná a záporná. Výsledná spirála je proto souměrná podle přímky y = −x . Často se ale Fermatova spirála popisuje rovnicí r = a√ɸ - v tomto případě se pak kreslí jen jedna část spirály. Pokud bychom chtěli tuto spirálu znázornit na počítači, opět je vhodné napsat rovnice této spirály parametricky x = a√t cos t, y = a√t sin t, kde t > 0. Tuto spirálu navrhl Fermat v roce 1636. Je spirála, která je popsána rovnicí r² = a²ɸ. Pro nějakou kladnou hodnotu ɸ existují dvě odpovídající hodnoty r – kladná a záporná. Výsledná spirála je proto souměrná podle přímky y = −x . Často se ale Fermatova spirála popisuje rovnicí r = a√ɸ - v tomto případě se pak kreslí jen jedna část spirály. Pokud bychom chtěli tuto spirálu znázornit na počítači, opět je vhodné napsat rovnice této spirály parametricky x = a√t cos t, y = a√t sin t, kde t > 0.

Lituuova spirála

Lituuovu spirálu navrhl Cotes v roce 1722. Lituus znamená háček. Maclaurin použil tento výraz v knize Harmonia Mensurarumin v roce 1722. Je inverzní spirála k Fermatově spirále, tj. je to spirála o rovnici r =a/√φ, φ > 0. Pokud bychom chtěli tuto spirálu znázornit pomocí počítače,je opět vhodné ji vyjádřit parametricky x =(a/√t) cos t, y =(a/√t) sin t, t > 0. Obdobně jako u Fermatovy spirály je možné také dokreslit také druhou část této spirály.

Použitá literatura

• MATEMATIKA KŘIVEK-Miroslava Jarešová – Ivo Volf
• Výukové animace pro DEG - Libor Baloun

Související články

• Křivka
• Kladná zpětná vazba
• Šroubovice