Rapidita

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu \(c\), rapidita může být libovolně velká. Pro objekty v klidu má hodnotu 0 a pro pomalé objekty je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost objektu přibližuje \(c\), roste rapidita nade všechny meze.

Rapidita \(r\) je definována vztahem

\(\operatorname{tgh}\, r = \beta \,,\)

kde \(\beta = v/c\) je bezrozměrná rychlost a funkce \(\operatorname{tgh}\) je hyperbolický tangens. Známe-li rychlost, můžeme rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem

\(r = \operatorname{arctgh}\, \beta = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \beta}{1 - \beta} \,.\)

Příklady

Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než \(c\) je \(r\) velmi přesně rovno \(\beta\). Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost \(\beta = 0{,}0000266851276159\) a rapiditu \(r = 0{,}0000266851276222\), liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.

Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než \(\beta\). Například při polovině rychlosti světla je \(\beta = 0{,}5\), zatímco \(r = 0{,}5493\). Rapidita \(r = 1\) odpovídá rychlosti \(\beta = 0{,}7616\). Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost \(\beta = 0{,}9999999282\) a rapiditu \(r = 8{,}57\). Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, \(\beta = 0{,}9999999820\), ale rapidita vzroste na \(r = 9{,}26\).

Skládání pohybů

V klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi \(v_1\) a \(v_2\), pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí \(v_1+v_2\). Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s \(c\). Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah

\(v_{12}=\frac{v_1+v_2}{1+v_1v_2/c^2} \,.\)

Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí

\(\beta_{12}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}.\)

Lze ukázat, že

\(\mathrm{arctgh}\, \beta_{12} = \mathrm{arctgh}\, \beta_1 + \mathrm{arctgh}\, \beta_2 \,,\)

neboli

\(r_{12} = r_1+r_2 \,.\)

To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Můžeme například urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83. ^{[pozn 1]} Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.

Poznámky

1. ↑ Při nárazu do stojícího terče je tak vysoká rapidita technicky nedosažitelná. To je důvod, proč LHC používá dva vstřícné svazky částic. Oba svazky v LHC mají před srážkou přesně stejnou rapiditu. Zde jsou použity protony s různou energií jen jako příklad.