V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Centrální moment

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Masivní vylepšení)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
'''Centrální moment''' je pojem z [[matematická statistika|matematické statistiky]]. Pro [[přirozené číslo]] <math>k</math> je k-tý centrální moment jisté [[reálné číslo]]  charakterizující [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]].  
+
'''Centrální moment''' je pojem z [[matematická statistika|matematické statistiky]]. Pro [[přirozené číslo]] <big>\(k\)</big> je k-tý centrální moment jisté [[reálné číslo]]  charakterizující [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]].  
-
''K''-tý centrální moment se označuje  <math>\mu_k</math>.
+
''K''-tý centrální moment se označuje  <big>\(\mu_k\)</big>.
== Definice ==
== Definice ==
-
''K''-tý centrální moment náhodné veličiny <math>X</math> je definován vzorcem
+
''K''-tý centrální moment náhodné veličiny <big>\(X\)</big> je definován vzorcem
-
:<math>\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]</math>,
+
:<big>\(\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]\)</big>,
-
kde <math>\mu</math> je [[střední hodnota]] dané veličiny (pokud má vzorec smysl).
+
kde <big>\(\mu\)</big> je [[střední hodnota]] dané veličiny (pokud má vzorec smysl).
Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát
Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát
-
:<math>\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i</math>,
+
:<big>\(\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i\)</big>,
-
kde <math>p_i</math> je [[pravděpodobnost]], že <math>X</math> nabývá hodnoty <math>x_i</math>.
+
kde <big>\(p_i\)</big> je [[pravděpodobnost]], že <big>\(X\)</big> nabývá hodnoty <big>\(x_i\)</big>.
Pro spojité náhodné veličiny na [[Reálné číslo|reálných číslech]] lze psát
Pro spojité náhodné veličiny na [[Reálné číslo|reálných číslech]] lze psát
-
:<math>\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x</math>,
+
:<big>\(\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x\)</big>,
-
kde <math>f(x)</math> je [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustota rozdělení]] dané veličiny.
+
kde <big>\(f(x)\)</big> je [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustota rozdělení]] dané veličiny.
=== Označení centrálních momentů ===
=== Označení centrálních momentů ===
Řádka 26: Řádka 26:
První centrální moment je vždy roven 0.
První centrální moment je vždy roven 0.
-
Druhý centrální moment se nazývá [[rozptyl (statistika)|rozptyl]] a označuje se symbolem <math>\sigma^2</math> nebo <math>\operatorname{var}\,X</math>.
+
Druhý centrální moment se nazývá [[rozptyl (statistika)|rozptyl]] a označuje se symbolem <big>\(\sigma^2\)</big> nebo <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big>.
Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice [[Koeficient šikmosti|šikmosti]] a [[Koeficient špičatosti|špičatosti]].
Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice [[Koeficient šikmosti|šikmosti]] a [[Koeficient špičatosti|špičatosti]].
Řádka 34: Řádka 34:
Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.
Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.
-
:<math>\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)</math>
+
:<big>\(\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)\)</big>
Pro násobení konstantou platí
Pro násobení konstantou platí
-
:<math>\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)</math>
+
:<big>\(\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)\)</big>
-
Pro <math>k\leq 3</math> a nezávislé náhodné veličiny <math>X, Y</math> platí
+
Pro <big>\(k\leq 3\)</big> a nezávislé náhodné veličiny <big>\(X, Y\)</big> platí
-
:<math>\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)</math>
+
:<big>\(\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)\)</big>
Mezi centrálními momenty a [[Obecný moment|obecnými momenty]] je vztah
Mezi centrálními momenty a [[Obecný moment|obecnými momenty]] je vztah
-
:<math>\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime</math>,
+
:<big>\(\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime\)</big>,
-
kde <math>\mu</math> je střední hodnota a <math>\mu_i^\prime</math> je ''i''-tý obecný moment.
+
kde <big>\(\mu\)</big> je střední hodnota a <big>\(\mu_i^\prime\)</big> je ''i''-tý obecný moment.
== Výběrový centrální moment ==
== Výběrový centrální moment ==
Řádka 54: Řádka 54:
'''Výběrový centrální moment''' je definován vzorcem
'''Výběrový centrální moment''' je definován vzorcem
-
<math> m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k </math>
+
<big>\( m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k \)</big>
Výběrový centrální moment je [[nevyvážený]] odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:  
Výběrový centrální moment je [[nevyvážený]] odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:  
-
* <math>M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2</math>
+
* <big>\(M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)</big>
-
* <math>M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3</math>
+
* <big>\(M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3\)</big>
-
* <math>M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2</math>
+
* <big>\(M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2\)</big>
== Reference ==
== Reference ==

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo \(k\) je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje \(\mu_k\).

Obsah

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny \(X\) je definován vzorcem

\(\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]\),

kde \(\mu\) je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

\(\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i\),

kde \(p_i\) je pravděpodobnost, že \(X\) nabývá hodnoty \(x_i\).

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

\(\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x\),

kde \(f(x)\) je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem \(\sigma^2\) nebo \(\operatorname{var}\,X\).

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

\(\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)\)

Pro násobení konstantou platí

\(\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)\)

Pro \(k\leq 3\) a nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) platí

\(\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)\)

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

\(\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime\),

kde \(\mu\) je střední hodnota a \(\mu_i^\prime\) je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

\( m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k \)

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

  • \(M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)
  • \(M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3\)
  • \(M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2\)

Reference


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Centr%C3%A1ln%C3%AD_moment“