Binomická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru $x^{n} - a = 0$ s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
$| x^{n} | (\cos n φ + i \sin n φ) = | a | (\cos ω + i \sin ω); x, a \in C, n \in N$

Úhel $ω$ komplexní číslo $a$ s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé $x$

$| x | = \sqrt[n]{| a |}$

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je

$\begin{array}{rcl} \cos n φ & = & \cos ω \\ n φ & = & ω + 2 k π \\ φ & = & \frac{ω + 2 k π}{n} \end{array}$

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu $ω$ . Pokud je číslo $a$ kladné reálné, poté uvažujeme úhel $ω = 0$ . Naopak, když je $a$ reálné záporné, uvažujeme úhel $ω = π$ . Pokud uvažujeme, že $a$ má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem $n$ řešení. Při jejich hledání se za koeficient $k$ dosazují postupně hodnoty množiny ${0; 1; \dots; n - 1}$ . Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného $n$ -úhelníka. Samotné řešení je

1. možnost $ω = 0$

$x_{1, 2, \dots, n} = \sqrt[n]{| a |} [\cos (\frac{2 k π}{n}) + i \sin (\frac{2 k π}{n})]$

2. možnost $ω = π$

$x_{1, 2, \dots, n} = \sqrt[n]{| a |} [\cos (\frac{2 k π + π}{n}) + i \sin (\frac{2 k π + π}{n})]$

3. možnost neurčitého $ω$ a komplexního $a$

$x_{1, 2, \dots, n} = \sqrt[n]{| a |} [\cos (\frac{2 k π + ω}{n}) + i \sin (\frac{2 k π + ω}{n})]$

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-'''Binomickou rovnicí''' nazýváme rovnici ve tvaru <big>\(x^n-a=0</math> s komplexní neznámou ''x'', číslo ''a'' je také [[komplexní číslo]]. [[Exponent]] neznámé ''x'' je [[přirozené číslo]]. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
+'''Binomickou rovnicí''' nazýváme rovnici ve tvaru <big>\(x^n-a=0\)</big> s komplexní neznámou ''x'', číslo ''a'' je také [[komplexní číslo]]. [[Exponent]] neznámé ''x'' je [[přirozené číslo]]. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.
 ==Řešení binomické rovnice==
 Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním [[Komplexní číslo|goniometrického tvaru komplexního čísla]]. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
 <br />
-<big>\(\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}</math>
+<big>\(\left|x^n\right|\left(\cos n\varphi+\text{i}\sin n\varphi\right)=|a|\left(\cos\omega+\text{i}\sin\omega\right)\,;\; x,a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{N}\)</big>
-Úhel <big>\(\omega</math> komplexní číslo <big>\(a</math> s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je [[absolutní hodnota]] neznámé <big>\(x</math><br />
+Úhel <big>\(\omega\)</big> komplexní číslo <big>\(a\)</big> s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je [[absolutní hodnota]] neznámé <big>\(x\)</big><br />
-<big>\(|x|=\sqrt[n]{|a|}</math>
+<big>\(|x|=\sqrt[n]{|a|}\)</big>
 Porovnáním úhlů a odvozením řešení je
 <br />
-<big>\( $\begin{array}{rcl} \cos n φ & = & \cos ω \\ n φ & = & ω + 2 k π \\ φ & = & \frac{ω + 2 k π}{n} \end{array}$ </math>
+<big>\( $\begin{array}{rcl} \cos n φ & = & \cos ω \\ n φ & = & ω + 2 k π \\ φ & = & \frac{ω + 2 k π}{n} \end{array}$ \)</big>
 ===Diskuse===
-V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu <big>\(\omega</math>. Pokud je číslo <big>\(a</math> kladné [[Reálné číslo|reálné]], poté uvažujeme úhel <big>\(\omega=0</math>. Naopak, když je <big>\(a</math> reálné záporné, uvažujeme úhel <big>\(\omega=\pi</math>. Pokud uvažujeme, že <big>\(a</math> má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
+V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu <big>\(\omega\)</big>. Pokud je číslo <big>\(a\)</big> kladné [[Reálné číslo|reálné]], poté uvažujeme úhel <big>\(\omega=0\)</big>. Naopak, když je <big>\(a\)</big> reálné záporné, uvažujeme úhel <big>\(\omega=\pi\)</big>. Pokud uvažujeme, že <big>\(a\)</big> má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:
 ===Řešení===
-Binomická rovnice má celkem <big>\(n</math> řešení. Při jejich hledání se za koeficient <big>\(k</math> dosazují postupně hodnoty množiny <big>\(\{0;1;\cdots;n-1\}</math>. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného <big>\(n</math>-úhelníka. Samotné řešení je <br />
+Binomická rovnice má celkem <big>\(n\)</big> řešení. Při jejich hledání se za koeficient <big>\(k\)</big> dosazují postupně hodnoty množiny <big>\(\{0;1;\cdots;n-1\}\)</big>. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného <big>\(n\)</big>-úhelníka. Samotné řešení je <br />
-''1. možnost <big>\(\omega=0</math>''<br />
+''1. možnost <big>\(\omega=0\)</big>''<br />
-<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]</math>
+<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right]\)</big>
-''2. možnost <big>\(\omega=\pi</math>''<br />
+''2. možnost <big>\(\omega=\pi\)</big>''<br />
-<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]</math>
+<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\pi}{n}\right)\right]\)</big>
-''3. možnost neurčitého <big>\(\omega</math> a komplexního <big>\(a</math>''<br />
+''3. možnost neurčitého <big>\(\omega\)</big> a komplexního <big>\(a\)</big>''<br />
-<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]</math>
+<big>\(x_{1,2,\cdots,n}=\sqrt[n]{|a|}\left[\cos\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)+\text{i}\sin\left(\frac{2k\pi+\omega}{n}\right)\right]\)</big>