Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Binomická rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici ve tvaru xna=0 s komplexní neznámou x, číslo a je také komplexní číslo. Exponent neznámé x je přirozené číslo. Jde o typ rovnic, které se řeší na Gaussově rovině komplexních čísel, tedy i řešením jsou komplexní čísla.

Řešení binomické rovnice

Řešení binomické rovnice lze najít zkoumáním goniometrického tvaru komplexního čísla. Mějme rovnici v základním tvaru, přičemž obě strany lze přepsat jako komplexní čísla v goniometrické tvaru
|xn|(cosnφ+isinnφ)=|a|(cosω+isinω);x,aC,nN

Úhel ω komplexní číslo a s kladnou osou x. Odtud lze porovnáváním stran odvodit řešení. Porovnáním absolutních hodnot je absolutní hodnota neznámé x

|x|=|a|n

Porovnáním úhlů a odvozením řešení je


cosnφ=cosωnφ=ω+2kπφ=ω+2kπn

Diskuse

V tomto kroku je zapotřebí rozebrat diskusi vzhledem k úhlu ω. Pokud je číslo a kladné reálné, poté uvažujeme úhel ω=0. Naopak, když je a reálné záporné, uvažujeme úhel ω=π. Pokud uvažujeme, že a má svoji reálnou i imaginární složku, tedy je komplexní, úhel se nedá obecně vyjádřit. Po této diskusi lze psát řešení:

Řešení

Binomická rovnice má celkem n řešení. Při jejich hledání se za koeficient k dosazují postupně hodnoty množiny {0;1;;n1}. Tato řešení vytvoří v komplexní rovině jakési vrcholy pravidelného n-úhelníka. Samotné řešení je

1. možnost ω=0

x1,2,,n=|a|n[cos(2kπn)+isin(2kπn)]

2. možnost ω=π

x1,2,,n=|a|n[cos(2kπ+πn)+isin(2kπ+πn)]

3. možnost neurčitého ω a komplexního a

x1,2,,n=|a|n[cos(2kπ+ωn)+isin(2kπ+ωn)]