Limitní ordinál
Z Multimediaexpo.cz
m (+ Heuréka...) |
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
||
Řádka 2: | Řádka 2: | ||
==Definice== | ==Definice== | ||
- | Ordinální číslo < | + | Ordinální číslo <big>\( \alpha \,\! </math> je '''limitní''', pokud<br /> |
- | < | + | <big>\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math><br /> |
'''''On''''' zde označuje [[Třída (matematika)|třídu]] všech ordinálních čísel. | '''''On''''' zde označuje [[Třída (matematika)|třídu]] všech ordinálních čísel. | ||
==Příklady== | ==Příklady== | ||
- | Množina < | + | Množina <big>\( \omega \,\!</math> všech [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] je '''limitní''' - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem <big>\( \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice. |
- | Podobně množina < | + | Podobně množina <big>\( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní. |
- | Naproti tomu ordinály < | + | Naproti tomu ordinály <big>\( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. '''0''' není limitní z definice a ostatní mají předchůdce <big>\( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým ordinálům říkáme [[Izolovaný ordinál|izolované]]. |
==Použití== | ==Použití== |
Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.
Definice
Ordinální číslo \( \alpha \,\! </math> je limitní, pokud
\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math>
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.
Příklady
Množina \( \omega \,\!</math> všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem \( \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice.
Podobně množina \( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní.
Naproti tomu ordinály \( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce \( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým ordinálům říkáme izolované.
Použití
Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.
Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:
- Množina všech vlastních podmnožin limitního ordinálu nemá největší prvek, ale má supremum - je to tedy tak trochu obdoba shora otevřeného intervalu v reálných číslech.
- Pouze limitní ordinál může být kardinálním číslem.
Související články
- Kofinál
- Izolovaný ordinál
- Ordinální číslo
- Ordinální aritmetika
- Transfinitní indukce
- Transfinitní rekurze
- Kardinální číslo
- Limitní kardinál
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |