Limitní ordinál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (+ Heuréka...)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
Řádka 2: Řádka 2:
==Definice==
==Definice==
-
Ordinální číslo <math> \alpha \,\! </math> je '''limitní''', pokud<br />
+
Ordinální číslo <big>\( \alpha \,\! </math> je '''limitní''', pokud<br />
-
<math> \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math><br />
+
<big>\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math><br />
'''''On''''' zde označuje [[Třída (matematika)|třídu]] všech ordinálních čísel.
'''''On''''' zde označuje [[Třída (matematika)|třídu]] všech ordinálních čísel.
==Příklady==
==Příklady==
-
Množina <math> \omega \,\!</math> všech [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] je '''limitní''' - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem <math> \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice.
+
Množina <big>\( \omega \,\!</math> všech [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] je '''limitní''' - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem <big>\( \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice.
-
Podobně množina <math> \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní.  
+
Podobně množina <big>\( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní.  
-
Naproti tomu ordinály <math> 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. '''0''' není limitní z definice a ostatní mají předchůdce <math> 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým&nbsp;ordinálům říkáme [[Izolovaný ordinál|izolované]].
+
Naproti tomu ordinály <big>\( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. '''0''' není limitní z definice a ostatní mají předchůdce <big>\( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým&nbsp;ordinálům říkáme [[Izolovaný ordinál|izolované]].
==Použití==
==Použití==

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo \( \alpha \,\! </math> je limitní, pokud
\( \alpha \neq 0 \land (\forall \beta \in On)( \beta \cup \{ \beta \} \neq \alpha ) </math>
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina \( \omega \,\!</math> všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem \( \omega \,\!</math> ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina \( \omega + \omega = \{0,1,2,\ldots,\omega,\omega + 1, \omega + 2,\ldots \} \,\!</math> je limitní.

Naproti tomu ordinály \( 0,1,7,13,\omega + 1, \omega.\omega + \omega + 15 \,\!</math> nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce \( 0,6,12,\omega, \omega.\omega + \omega + 14 \,\!</math>. Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

Související články