Skalární součin

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Skalární součin''' je v matematice [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které dvojici [[vektor]]ů přiřadí číslo ([[skalár]]), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. [[ortogonalita|ortogonalitě]] a případně k [[úhel|úhlu]], který svírají. Formálně se skalární součin definuje na [[reálné číslo|reálném]] nebo [[komplexní číslo|komplexním]] [[vektorový prostor|vektorovém prostoru]] ''V'' jako bilineární zobrazení :<big>\(V\times V \to \mathbb{R}\)</big>&nbsp;&nbsp;&nbsp; resp. &nbsp;&nbsp;<big>\(V\times V \to \mathbb{C}\)</big>,&nbsp;&nbsp;&nbsp; kde <big>\(V\)</big> je [[vektorový prostor]] nad [[těleso (algebra)|číselným tělesem]] <big>\(\mathbb{R}\)</big> resp. <big>\(\mathbb{C}\)</big>, splňující jisté vlastnosti. Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]] zobrazení dané vzorcem :<big>\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}| \cos \alpha\)</big>, kde <big>\(\alpha\)</big> je [[úhel]] sevřený vektory '''a''' a '''b'''. == Způsob zápisu == Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů '''u''', '''v''' jsou: * <big>\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\)</big> – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u [[násobení matic]], což je v určitých ohledech podobná operace. * <big>\(\langle \mathbf{u},\mathbf{v} \rangle\)</big> – značení běžné ve [[Funkcionální analýza|funkcionální analýze]]. * <big>\((\mathbf{u},\mathbf{v})\)</big> – starší značení, dnes již méně používané. * <big>\(b\,(\mathbf{u},\mathbf{v})\)</big> – ''b'' jako [[bilineární forma]] * <big>\(\langle \mathbf{v} \mid \mathbf{u} \rangle\)</big> – při použití [[Diracova notace|Diracovy notace]] v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] == Definice == Jsou dány číselné těleso ''T'' a vektorový prostor ''V'' nad tímto tělesem. Zobrazení ''V''×''V'' → ''T''&nbsp; je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna <big>\(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V\)</big> a všechna <big>\(a \in T\)</big> následující podmínky: # <big>\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}\)</big> # <big>\((\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}) = (\mathbf{u},\mathbf{w})+(\mathbf{v},\mathbf{w})\)</big> # <big>\((a\,\mathbf{u},\mathbf{v}) = a\,(\mathbf{u},\mathbf{v})\)</big> # <big>\((\mathbf{v},\mathbf{v}) \ge 0\)</big> # <big>\((\mathbf{v},\mathbf{v}) = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}\)</big> Pruhem je označeno [[komplexně sdružené číslo|komplexní sdružení]]. Pro reálná čísla platí &nbsp;<big>\(\overline x = x.\)</big> == Vlastnosti == [[Soubor:Skalarni_soucin_geom.png|thumb|260px|Geometrická interpretace skalárního součinu]] * v reálném vektorovém prostoru je skalární součin [[komutativita|komutativní]], tzn. :<big>\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = (\mathbf{v},\mathbf{u})\)</big> * ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí :<big>\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = \overline{(\mathbf{v},\mathbf{u})}\)</big> * pro komplexní ''a'' platí :<big>\((\mathbf{u},a\,\mathbf{v}) = \overline{a}\,(\mathbf{u},\mathbf{v})\)</big> * vektory '''u''', '''v''' nazýváme ''[[ortogonalita|ortogonálními]] vektory'', pokud splňují vztah :<big>\((\mathbf{u},\mathbf{v}) = 0\)</big> * jestliže [[množina]] <big>\(\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_n\}\)</big> vyhovuje vztahu :<big>\((\mathbf{e}_j,\mathbf{e}_k) = \delta_{jk}\)</big>, &nbsp;kde <big>\(\delta_{jk}\)</big> je [[Kroneckerovo delta]], :pak tyto vektory označujeme jako ''[[ortonormalita|ortonormální]]''. * pomocí skalárního součinu lze definovat [[norma vektoru|normu vektoru]], tzv. :norma generovaná skalárním součinem: :<big>\(\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(\mathbf{v},\mathbf{v})}\)</big> * z [[geometrie|geometrického]] hlediska představuje skalární součin vektorů&nbsp;'''u''',&nbsp;'''v''' součin velikosti vektoru&nbsp;'''u''' a velikosti průmětu&nbsp;'''v''' do směru vektoru&nbsp;'''u''', tzn. :<big>\(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| \cos \alpha\)</big>, :kde <big>\(\alpha\)</big> je [[úhel]], který svírají vektory '''u''', '''v'''. == Příklady skalárních součinů == * pro dva vektory <big>\(\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n u^i \mathbf{e}_i,\, \mathbf{v}=\sum_{i=1}^n v^i \mathbf{e}_i\)</big> :(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené [[báze (algebra)|bázi]] <big>\(\mathbf{e}\)</big>) lze skalární součin definovat jako : <big>\((\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sum^n_{i,j=1} (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j) u^i \overline{v^j} = \sum^n_{i,j=1} g_{i j}u^i \overline{v^j}\)</big>, :kde <big>\(g_{i j} = (\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)\)</big> je [[metrický tenzor]] (v tomto případě [[matice]]). * pro dvě posloupnosti <big>\(a,b : \mathbb{N} \to \mathbb{C}\)</big> můžeme definovat skalární součin jako [[Řada (matematika)|řadu]] :<big>\((a, b) = \sum_{i=0}^{\infty} a_i \overline{b_i}\)</big> : pokud řada konverguje. * skalární součin funkcí <big>\((f, g)=\int_a^b f(x)\cdot \overline{g(x)} dx\)</big> pokud integrál konverguje. (meze [[integrál|integrace]] jsou obvykle <big>\(0, \pm \infty, \pm 1, \pm \pi\)</big>) == Příklad výpočtu skalárního součinu == Mějme dva trojrozměrné vektory '''a''' = (1,2,3), '''b''' = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je :<big>\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_ 1b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 32\)</big>. == Související články == * [[Vektor]] * [[Vektorový součin]] * [[Smíšený součin]] == Externí odkazy == {{Commonscat|Scalar product}}{{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Lineární algebra]] [[Kategorie:Binární operace]]

Návrat na stránku „Skalární součin“.