Gaussův integrál

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

[[Soubor:E^(-x^2).png|thumb|310px|Graf ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''^−''x''² a plochy mezi funkcí a osou ''x''; tato plocha se rovná <big>\( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)</big>]] '''Gaussův integrál''', také známý jako '''Eulerův-Poissonův integrál''' či '''Poissonův integrál''',<ref>[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00063/81000.htm Пуассона интеграл], БСЭ</ref> je [[integrál]] [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] ''e''^−''x''² přes celou reálnou osu, tedy :<big>\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)</big> Jména tomuto integrálu dali matematici [[Carl Friedrich Gauss]], [[Leonhard Euler]] a [[Siméon Denis Poisson]]. == Výpočet == Integrál [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] označíme <big>\(Y\)</big>. :<big>\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)</big> Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme <big>\(y\)</big>. :<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)</big> Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí. :<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)</big> [[Graf funkce|Graf]] této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu [[Říp]]) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi <big>\((x,y)\)</big>. Integrál představuje [[objem]] kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu [[polární soustava souřadnic]] <big>\((\varphi,r)\)</big>, do kterých funkci přepíšeme. :<big>\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)</big> Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou [[per partes]] a jeho hodnota je <big>\(\pi\)</big>. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek. :<big>\(Y = \sqrt{\pi}\)</big> == Reference == <references /> == Externí odkazy == * Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika {{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Integrální počet]]

Návrat na stránku „Gaussův integrál“.