Totálně omezený metrický prostor

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje:

přirozené číslo n a soubor $A_{1}, A_{2}, A_{3}, . . . A_{n}$ podmnožin množiny X, takový, že
- S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a
- každá podmnožina A_i má velikost E (nebo menší).

V matematické symbolice:

\forall_{E} \exists_{n \in N} \exists_{A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} \subseteq X} (S \subseteq ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} a zaroven \forall_{i = 1, \dots, n} velikost (A_{i}) \leq E) .

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor $M$ všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností $a_{i}, b_{i}$ supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel $| a_{1} - b_{1} |, | a_{2} - b_{2} | \dots$ .

Uvažme množinu $A \subseteq M$ těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor $M$ není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina $A$ je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek $A$ má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro $ϵ = 1$ existovala konečná $ϵ$ -síť $S$ , jejíž prvky můžeme označit $S (1), S (2), \dots S (m)$ , kde $m$ je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost $c_{n}$ , definovanou takto:

$c_{i} = - 2$ , pokud $i \leq m$ a $S (i)_{i} \geq 0$
$c_{i} = 2$ , pokud $i \leq m$ a $S (i)_{i} < 0$
$c_{i} = 0$ , pokud $i > m$

Symbol $S (i)_{i}$ značí $i$ -tý prvek $i$ -té posloupnosti v množině $S$ . Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost $c_{n}$ se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti $S (i)$ , čehož dosáhneme tak, že pro každé $i$ vhodnou volbou $c_{i}$ zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti $S (i)$

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek $S (j)$ má od posloupnosti $c_{n}$ vzdálenost menší, než 1. Z definice $c_{n}$ však plyne, že číslo $S (j)_{j}$ je od čísla $c_{j}$ vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii