Konečné těleso

Z Multimediaexpo.cz

Konečné těleso (nebo Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise (1811 – 1832), obvykle značeno \(GF(p^k)\)) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.

Obsah 1 Vlastnosti 2 Reprezentace 3 Využití 3.1 Využití v kódování 4 Externí odkazy

Vlastnosti

• Počet prvků konečného tělesa je roven \(p^k\), kde \(p\) je prvočíslo a \(k\) je kladné přirozené číslo.
• Charakteristika tělesa \(GF(p^k)\) je rovna právě prvočíslu \(p\).
• Konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
• Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
• Žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě \(a_1,a_2,\dots,a_k\), můžeme zkonstruovat mnohočlen\((x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k) + 1\), který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z \(a_1,a_2,\dots,a_k\) není jeho kořenem.

Reprezentace

\(GF(p)\) jsou celá čísla modulo dané prvočíslo \(p\) neboli \(Z_p\). Typická reprezentace Galoisova tělesa \(GF(p^k)\) jsou polynomy nad \(Z_p\) modulo definiční polynom stupně \(k\). Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom ireducibilní.

Ne vždy je x primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní grupy). Například pro GF(3²) při definičním polynomu x²+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít x+1. Při definičním polynomu x²+x-1 ale x stačí.

Využití

Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.

Využití v kódování

V kódování jsou nejčastěji používána \(GF(2^{2^k})\). V takovém případě je používán izomorfismus mezi číslem dle jeho \(2^k\) bitového zápisu na polynomy nad bity tak, že bit řádu \(\ell\) určuje koeficient u \(x^\ell\). Pozor, ač jsou při různé volbě definičního polynomu odpovídající tělesa isomorfní, kódování dává různé výsledky v závislosti na volbě definičního polynomu. Při výpočtech nad \(GF(2^{2^k})\) sčítání odpovídá bitový xor. Pro násobení je nejjednodušší vytvořit si tabulky logaritmů a exponentů primitivního prvku tělesa \(\alpha=x\) resp. v číselném pohledu \(\alpha=2\). Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li \(y\) reprezentace \(\alpha^\ell\), pak reprezentaci \(\alpha^{\ell+1}\) dostaneme buď jako \(2y\), pokud je \(2y<2^{2^k}\) nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud \(2y\ge2^{2^k}\)). Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele \(a,b\)) pomocí \(\alpha^{\log a+\log b}\). Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Konečné těleso

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii