Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Konečné těleso

Z Multimediaexpo.cz

Konečné těleso (nebo Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise (1811 – 1832), obvykle značeno GF(pk)) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.

Obsah

[skrýt]

Vlastnosti

  • Počet prvků konečného tělesa je roven pk, kde p je prvočíslo a k je kladné přirozené číslo.
  • Charakteristika tělesa GF(pk) je rovna právě prvočíslu p.
  • Konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
  • Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
  • Žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě a1,a2,,ak, můžeme zkonstruovat mnohočlen(xa1)(xa2)(xak)+1, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z a1,a2,,ak není jeho kořenem.

Reprezentace

GF(p) jsou celá čísla modulo dané prvočíslo p neboli Zp. Typická reprezentace Galoisova tělesa GF(pk) jsou polynomy nad Zp modulo definiční polynom stupně k. Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom ireducibilní.

Ne vždy je x primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní grupy). Například pro GF(32) při definičním polynomu x2+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít x+1. Při definičním polynomu x2+x-1 ale x stačí.

Využití

Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.

Využití v kódování

V kódování jsou nejčastěji používána GF(22k). V takovém případě je používán izomorfismus mezi číslem dle jeho 2k bitového zápisu na polynomy nad bity tak, že bit řádu určuje koeficient u x. Pozor, ač jsou při různé volbě definičního polynomu odpovídající tělesa isomorfní, kódování dává různé výsledky v závislosti na volbě definičního polynomu. Při výpočtech nad GF(22k) sčítání odpovídá bitový xor. Pro násobení je nejjednodušší vytvořit si tabulky logaritmů a exponentů primitivního prvku tělesa α=x resp. v číselném pohledu α=2. Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li y reprezentace α, pak reprezentaci α+1 dostaneme buď jako 2y, pokud je 2y<22k nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud 2y22k). Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele a,b) pomocí αloga+logb. Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Konečné těleso