Konečné těleso

Z Multimediaexpo.cz

Konečné těleso (nebo Galoisovo těleso na počest Évarista Galoise (1811 – 1832), obvykle značeno $GF(p^k)$) je v matematice, přesněji v abstraktní algebře, označení pro takové těleso, které má konečný počet prvků.

Obsah [skrýt] 1 Vlastnosti 2 Reprezentace 3 Využití 3.1 Využití v kódování 4 Externí odkazy

Vlastnosti

• Počet prvků konečného tělesa je roven $p^k$, kde $p$ je prvočíslo a $k$ je kladné přirozené číslo.
• Charakteristika tělesa $GF(p^k)$ je rovna právě prvočíslu $p$.
• Konečná tělesa jsou komutativní (Wedderburnova věta).
• Konečná tělesa lze klasifikovat podle velikosti; platí totiž, že až na izomorfismus existuje vždy jen jediné konečné těleso o daném počtu prvků.
• Žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené neboť označíme-li prvky konečného tělesa po řadě $a_1,a_2,\dots ,a_k$, můžeme zkonstruovat mnohočlen$(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_k)+1$, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z $a_1,a_2,\dots ,a_k$ není jeho kořenem.

Reprezentace

$GF(p)$ jsou celá čísla modulo dané prvočíslo $p$ neboli $Z_p$. Typická reprezentace Galoisova tělesa $GF(p^k)$ jsou polynomy nad $Z_p$ modulo definiční polynom stupně $k$. Těleso tímto způsobem dostaneme právě když je definiční polynom ireducibilní.

Ne vždy je x primitivním prvkem tělesa (generátorem multiplikativní grupy). Například pro GF(3²) při definičním polynomu x²+1 generuje pouze polovinu prvků a jako generátor je potřeba vzít x+1. Při definičním polynomu x²+x-1 ale x stačí.

Využití

Konečná tělesa jsou důležitým nástrojem mimo jiné teorie čísel, algebraické geometrie a kryptografie.

Využití v kódování

V kódování jsou nejčastěji používána $GF(2^{2^k})$. V takovém případě je používán izomorfismus mezi číslem dle jeho $2^k$ bitového zápisu na polynomy nad bity tak, že bit řádu $\ell$ určuje koeficient u $x^{\ell }$. Pozor, ač jsou při různé volbě definičního polynomu odpovídající tělesa isomorfní, kódování dává různé výsledky v závislosti na volbě definičního polynomu. Při výpočtech nad $GF(2^{2^k})$ sčítání odpovídá bitový xor. Pro násobení je nejjednodušší vytvořit si tabulky logaritmů a exponentů primitivního prvku tělesa $\alpha =x$ resp. v číselném pohledu $\alpha =2$. Tabulky logaritmů vytváříme na základě tabulky exponentů. Tabulku exponentů vyplňujeme postupně. Je-li $y$ reprezentace ${\alpha }^{\ell }$, pak reprezentaci ${\alpha }^{\ell +1}$ dostaneme buď jako $2y$, pokud je $2y<2^{2^k}$ nebo pomocí xor s číslem odpovídajícím definičnímu polynomu (pokud $2y\ge 2^{2^k}$). Máme-li jak tabulky logaritmů, tak tabulky mocnin primitivního prvku, můžeme násobení počítat (pro nenulové činitele $a,b$) pomocí ${\alpha }^{\log a+\log b}$. Je-li jakýkoli činitel nulový, je samozřejmě i součin nulový.

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu Konečné těleso

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii