Konečná množina

Z Multimediaexpo.cz

Konečná množina je matematický pojem vyjadřující fakt, že množina má pouze omezený počet prvků.

Definice

Konečnou množinu lze definovat několika ekvivalentními způsoby:

• Množina je konečná, pokud ji nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějakou její vlastní podmnožinu.
• Množina je konečná, pokud ji lze vzájemně jednoznačně zobrazit na některé přirozené číslo.
• Množina je konečná, pokud každá neprázdná podmnožina potenční množiny má alespoň jeden maximální prvek vzhledem k uspořádání $\subseteq$ („být podmnožinou“).

Výrok „x je konečná množina“ je obvykle zapisován symbolem $Fin(x)$.

Třída všech konečných množin je zapisována symbolem
$Fin=\{x:Fin(x)\}$

Význam

Bez ohledu na to, kterou definici vybereme, zachycuje pojem konečné množiny intuitivní význam slova konečný - konečné jsou takové soubory prvků, pro které lze určit jejich počet - nějaké přirozené číslo. Tento počet prvků odpovídá u konečných množin obecnějšímu pojmu mohutnost.

Tato možnost přiřadit konečné množině nějaké přirozené číslo jako její počet, znamená, že konečnou množinu lze vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny $\omega$ všech přirozených čísel - každá konečná množina je tedy spočetná.

Všechny množiny se na základě pojmu konečnosti a spočetnosti rozpadají do tří kategorií:

• konečné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na přirozené číslo
• nekonečné spočetné, které lze vzájemně jednoznačně zobrazit na množinu všech přirozených čísel
• ostatní - nespočetné

Příklady a vlastnosti

• Prázdná množina je konečná.
• Každé přirozené číslo (ve smyslu množinové definice přirozených čísel) je konečná množina.
• $\omega$ není konečná množina - vezmu-li například první definici, tak předpisem $m=2.n$ lze $\omega$ zobrazit na množinu všech sudých čísel, což je její vlastní podmnožina

Pokud platí $Fin(x),Fin(y)$, pak také

• $Fin(x\cup y)$ (sjednocení dvou konečných množin je konečné)
• $Fin(x\cap y)$ (průnik dvou konečných množin je konečný)
• $Fin(x\times y)$ (kartézský součin dvou konečných množin je konečný)
• $Fin(\mathbb{P}(x))$ (potenční množina konečné množiny je konečná)

Související články

• Nekonečná množina
• Spočetná množina
• Nespočetná množina
• Přirozená čísla
• Ordinální čísla

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii