Keplerova úloha

Z Multimediaexpo.cz

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Keplerova úloha je v klasické mechanice problém dvou těles, které spolu interagují centrálními silami, jejichž velikost závisí na druhé mocnině vzdálenosti těchto těles (gravitační síla, elektrická síla, magnetická síla). Úkolem je nalézt, jak se s časem mění poloha nebo rychlost těchto těles.

Keplerova úloha byla nazvána po Johannu Keplerovi, který objevil Keplerovy zákony, které jsou řešením Keplerovy úlohy.

Odvození tvaru trajektorie a pohybové rovnice pro tělesa mezi nimiž působí gravitační síla

Mějme tělesa o hmotnostech $m_1$ a $m_2$, velikost síly, kterou se přitahují je dána vztahem

$F=\frac{G{m}_1{m}_2}{r^2}$,

kde $G$ je gravitační konstanta a $r$ vzdálenost těles. Této síle odpovídá potenciální energie

$V=-\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$.

Lagrangián soustavy je pak dán výrazem

$L=T-V=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{\mathrm{x}}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{\mathrm{x}}}_2^2+\frac{G{m}_1{m}_2}{|{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1|}$,

kde ${\mathrm{x}}_1$ a ${\mathrm{x}}_2$ jsou polohové vektory prvního a druhého tělesa.

Ukazuje se výhodnější pracovat v těžišťové soustavě, zavedeme tedy nové proměnné

$\mathrm{X}=\frac{{\mathrm{m}}_1{\mathrm{x}}_1+{\mathrm{m}}_2{\mathrm{x}}_2}{{\mathrm{m}}_1+{\mathrm{m}}_2}$,

$\mathrm{x}={\mathrm{x}}_1-{\mathrm{x}}_2$,

kde první popisuje polohu těžiště a druhá relativní polohu prvního tělesa.

Lagrangián v těchto proměnných má tvar

$L=\frac{1}{2}M{\dot{\mathrm{X}}}^2+\frac{1}{2}\mu {\dot{\mathrm{x}}}^2+\frac{G{m}_1{m}_2}{|\mathrm{x}|}$,

Kde

$M=m_1+m_2$

a

$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$.

Zde je zřejmé, že proměnná $\mathrm{X}$ je cyklická (vystupuje v lagrangiánu pouze zderivovaná), a proto je výraz $M\dot{X}$ integrálem pohybu, což představuje zákon zachování hybnosti soustavy. Dále se můžeme omezit na případ, kdy se v naší soustavě těžiště nepohybuje. Lagrangián ve sférických souřadnicích má pak tvar

$L=\frac{1}{2}\mu ({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2+r^2{\sin }^2\theta {\dot{\phi }}^2)+\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$.

Lze přitom ukázat, že pokud je na začátku pohyb takový, že $\theta =90$ a $\dot{\theta }=0$, pak pro další časy $\theta$ zůstane 90°. Proto můžeme tuto proměnnou položit této hodnotě rovnu a více se jí nezabývat (pohyb se tedy odehrává v rovině z=0), lagrangián má pak tvar.

$L=\frac{1}{2}\mu ({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)+\frac{G{m}_1{m}_2}{r}$.

Což je ekvivalentní (lagrangián je možno násobit konstantou, protože to nemá vliv na podobu pohybových rovnic):

$L=\frac{1}{2}({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2)+\frac{GM}{r}$

Lagrangeovy pohybové rovnice druhého druhu mají pro tento lagrangián tvar:

$r^2\dot{\phi }=l$

$\ddot{r}=r{\dot{\phi }}^2-\frac{GM}{r^2}$

První rovnice představuje zákon zachování momentu hybnosti, jenž je úměrný konstantě $l$, druhá pak tomu, že radiální zrychlení je úměrné součtu odstředivé a gravitační síly. Zákon zachování momentu hybnosti je přitom ekvivalentní tomu, že plocha opsaná průvodičem za jednotku času je konstantní (rovna $l/2$). Odvodili jsme tedy druhý Keplerův zákon.

Dosadíme-li první rovnici do druhé, získáváme diferenciální rovnici druhého řádu pro proměnnou $r$.

$\ddot{r}=\frac{l^2}{r^3}-\frac{GM}{r^2}$

Při řešení této rovnice je výhodnější přejít k proměnné $u=\frac{1}{r}$, potom totiž máme:

$\dot{r}=\frac{d}{dt}\frac{1}{u}=-\frac{1}{u^2}\frac{du}{d\phi }\frac{d\phi }{dt}=-l\frac{du}{d\phi }$

Označíme-li $u^{\prime }=\frac{du}{d\phi }$, dostáváme

\(\ddot{r}=-l u \dot{\varphi} = -l^2 u^2 u\).

Po dosazení do původní rovnice získáváme Binetův vzorec

\(u+u=\frac{GM}{l^2}\),

Což je rovnice pro lineární harmonický oscilátor s konstantní pravou stranou. Obecné řešení má tedy tvar

$u(\phi )=A\cos (\phi -{\phi }_0)+\frac{GM}{l^2}$

Rovnice vypočtené křivky v polárních souřadnicích tedy je

$r=\frac{1}{\frac{GM}{l^2}+A\cos (\phi -{\phi }_0)}=\frac{\frac{l^2}{GM}}{1+A\frac{l^2}{GM}\cos (\phi -{\phi }_0)}=\frac{p}{1+\epsilon \cos (\phi -{\phi }_0)}$,

kde

$p=\frac{l^2}{GM}$

$\epsilon =A\frac{l^2}{GM}$.

Z posledního výrazu je patrné, že se jedná o předpis kuželosečky v polárních souřadnicích. Přičemž $p$ představuje parametr kuželosečky a $\epsilon$ její excentricitu. Výsledná křivka je tedy kružnice, elipsa, parabola nebo hyperbola. Odvodili jsme tedy první Keplerův zákon. Speciálně planety se pohybují po elipsách a Slunce je v ohnisku.

Perioda oběhu po elipse

Nejprve se budeme zabývat kružnicí a elipsou, tedy když je numerická excentricita $\epsilon <1$. V tomto případě je křivka uzavřená a tedy lze vypočítat periodu oběhu.

Ta musí být rovna poměru obsahu elipsy a toho, jaký obsah opíše průvodič za sekundu, tedy

$T=\frac{2\pi ab}{l}$,

kde $a$ a $b$ je velká a malá poloosa elipsy.

Přitom z předpisu elipsy v polárním tvaru je zřejmé, že platí

$2a=\frac{p}{1+\epsilon }+\frac{p}{1-\epsilon }=\frac{2p}{1-{\epsilon }^2}$,

dále pak dle definice výše

$p=\frac{l^2}{GM}$

nakonec ještě využijeme základní vztah pro elipsu

$b=a\sqrt{1-{\epsilon }^2}$.

Po dosazení do rovnice pro periodu oběhu máme

$T=\frac{2\pi a^2\sqrt{1-{\epsilon }^2}}{\sqrt{GMp}}=\frac{2\pi a^2\sqrt{1-{\epsilon }^2}}{\sqrt{GMa(1-{\epsilon }^2)}}=\frac{2\pi }{\sqrt{GM}}{a}^{\frac{3}{2}}$

Úpravou získáváme třetí Keplerův zákon v obvyklém tvaru.

$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4{\pi }^2}$

Byly tedy odvozeny všechny tři Keplerovy zákony. Všimněme si, že perioda oběhu závisí pouze na velikosti hlavní poloosy, nikoliv na excentricitě elipsy.

Keplerova rovnice

Pro podrobnější diskusi je třeba odvodit i závislost relativní poloh těles na čase, nikoliv jen trajektorii letu. Tato závislost je dána Keplerovou rovnicí.

V tomto případě je výhodnější místo závislosti $\phi$ na čase zkoumat závislost excentrické anomálie $E$, která je pro tento účel výhodnější parametrizací.

Pro elipsu přitom platí

$x=a\cos E-\epsilon a$

$y=b\sin E$

Kde osa x míří k perihelu, tedy do místa, kdy je planeta nejblíže. Střed soustavy leží v ohnisku elipsy.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii