Frobeniova věta

Z Multimediaexpo.cz

Frobeniova věta z lineární algebry udává nutnou a postačující podmínku pro existenci řešení soustavy lineárních rovnic, konkrétně v závislosti na hodnostech matice soustavy a její rozšířené matice.

Je pojmenována podle německého matematika Ferdinanda Georga Frobenia (* 1849, † 1917).

Obsah [skrýt] 1 Formální znění 2 Ukázka 3 Pojmenování 4 Související články 5 Literatura

Formální znění

Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení, právě když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy: $\mathrm{rank}(\mathit{A}|\mathit{b})=\mathrm{rank}\mathit{A}$.

V tomto případě je soustava vnitřně bezrozporná. Pokud je hodnost matice $\mathit{A}$ rovna počtu neznámých, má soustava jedno řešení. Pokud je $\mathrm{rank}\mathit{A}$ menší než počet neznámých, je řešení více.

Hodnost matice $\mathit{A}$ nemůže být z definice větší než počet neznámých, ale je-li hodnost rozšířené matice soustavy $(\mathit{A}|\mathit{b})$ větší než počet neznámých, nemůže být splněna podmínka Frobeniovy věty a soustava proto nemá žádné řešení.

V případě, že soustava má řešení, pak množina řešení tvoří afinní podprostor dimenze <math display="inline">n-\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\)</big>, kde $n$ značí počet neznámých.

Ukázka

Soustava rovnic v oboru reálných čísel

$\begin{array}{rcrcrcr}x& +& y& +& 2z& =& 3\\ x& +& y& +& z& =& 1\\ 2x& +& 2y& +& 2z& =& 2\end{array}$

má matici soustavy

$\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$

a rozšířenou matici

$(\mathit{A}|\mathit{b})=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 2\end{array}\right)$

Protože obě mají stejnou hodnost, konkrétně $\mathrm{rank}\mathit{A}=\mathrm{rank}(\mathit{A}|\mathit{b})=2$, existuje alespoň jedno řešení. Navíc je jejich hodnost menší než počet neznámých, tj. 3, a proto existuje nekonečně mnoho řešení.

Naopak soustava

$\begin{array}{rcrcrcr}x& +& y& +& 2z& =& 3\\ x& +& y& +& z& =& 1\\ 2x& +& 2y& +& 2z& =& 5\end{array}$

má matici soustavy

$\mathit{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right)$

a rozšířenou matici

$(\mathit{A}|\mathit{b})=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 2& 3\\ 1& 1& 1& 1\\ 2& 2& 2& 5\end{array}\right)$

V tomto případě má matice soustavy hodnost 2, avšak rozšířená matice má hodnost 3; takže tato soustava rovnic nemá řešení. Nárůst počtu lineárně nezávislých sloupců způsobil, že soustava rovnic je nekonzistentní.

Pojmenování

Věta se ve světě uvádí i pod jmény dalších matematiků, kteří na této otázce pracovali – patří sem Leopold Kronecker, Alfredo Capelli, Georges Fontené a Eugène Rouché:

• Konkrétně se nazývá Rouchého–Capelliho věta v anglicky a portugalsky mluvících zemích a Itálii
• Kroneckerova-Capelliho věta v německy mluvících zemích, Polsku, Rumunsku, Srbsku a Rusku
• Rouchého–Fonténého věta ve frankofonním světě a Rouchého–Frobeniova věta ve španělsky mluvících zemích.

Související články

• Hodnost matice
• Lineární závislost
• Matice
• Soustava lineárních rovnic

Literatura

• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha : Matfyzpress. ISBN 978-80-7378-392-1.  
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha : Matfyzpress. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.  
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha : 2007, [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.  

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii