The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Eulerova–Lagrangeova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Obsah

Popis problému optimalizace

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

\( F \left( x, y(x), y'(x) \right) \).

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

\( J = \int_a^b F(x, y(x), y'(x)) \, \mathrm{d}x \),

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

\( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \)

Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

\( J = \int_0^1 \left[ y'(x)^2 + 12 x y(x) \right] \, \mathrm{d}x \)
\( y(0) = 0 \)
\( y(1) = 1 \)

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů \([x;y(x)]\)) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální.
Lze si také představit, že funkce \(F(x,y,y') = y'^2+12xy\) představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

\( 12x - 2y = 0 \)

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

\( y = 6x \),
\( y' = 3x^2 + c_1 \),
\( y = x^3 + c_1 x + c_2 \).

Hodnotu integračních konstant c1 a c2 vypočteme z okrajových podmínek \( y(0) = 0 \) a \( y(1) = 1 \) a získáme tak hledanou funkci \( y(x) \).

\( c_1 = 0 \)
\( c_2 = 0 \)
\( y(x) = x^3 \)

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Eulerova%E2%80%93Lagrangeova_rovnice“