Eulerova–Lagrangeova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

Eulerova-Lagrangeova rovnice se také často nazývá Eulerova rovnice nebo Lagrangeova rovnice, protože na této rovnici pracovali Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange současně okolo roku 1755. V oboru variačního počtu se jedná o diferenciální rovnici umožňující nalezení extrému funkcionálu a obvykle bývá užívána při optimalizaci a v mechanice pro odvozování pohybových rovnic různých objektů.

Obsah [skrýt] 1 Popis problému optimalizace 1.1 Příklad: „Nejlevnější cesta“ 2 Související články 3 Externí odkazy

Popis problému optimalizace

Je zadána tzv. Lagrangeova funkce (lagrangián) F tří proměnných, která má spojité první parciální derivace, do níž je dosazena funkce y(x),

$F(x,y(x),y^{\prime }(x))$.

Aby funkce y(x) představovala extremálu následujícího funkcionálu J,

$J={\int }_a^{b}F(x,y(x),y^{\prime }(x))\mathrm{d}x$,

musí funkce y(x) být řešením následující obyčejné diferenciální rovnice zvané Eulerova-Lagrangeova rovnice.

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial F}{\partial y^{\prime }}=0$

Příklad: „Nejlevnější cesta“

Úkolem je najít extrém následujícího funkcionálu J při splnění uvedených vazebních (okrajových) podmínek.

$J={\int }_0^1[y^{\prime }(x{)}^2+12xy(x)]\mathrm{d}x$

$y(0)=0$

$y(1)=1$

V podstatě hledáme takovou trajektorii (množinu bodů $[x;y(x)]$) z bodu [0;0] do bodu [1;1], aby daný určitý integrál, který závisí na této křivce, byl minimální.
Lze si také představit, že funkce $F(x,y,y^{\prime })=y^{\prime 2}+12xy$ představuje „penalizaci“ v závislosti na poloze a směru, přičemž úkolem je dostat se do cíle „co nejlevněji“.

Dosazením funkce F do Eulerovy-Lagrangeovy rovnice odvodíme následující obyčejnou diferenciální rovnici (lineární nehomogenní 2. řádu).

\( 12x - 2y = 0 \)

Získanou rovnici můžeme snadno vyřešit dvojnásobnou integrací:

\( y = 6x \),

$y^{\prime }=3x^2+c_1$,

$y=x^3+c_{1}x+c_2$.

Hodnotu integračních konstant c₁ a c₂ vypočteme z okrajových podmínek $y(0)=0$ a $y(1)=1$ a získáme tak hledanou funkci $y(x)$.

$c_1=0$

$c_2=0$

$y(x)=x^3$

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky

Externí odkazy

• Významní matematikové v historii (3), Euler + Lagrange: https://web.archive.org/web/20070607010012/http://natura.eri.cz/natura/2002/4/20020405.html
• Variační počet: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~prazak/vyuka/MAF042/kap19.pdf
• Prezident, prázdný talíř, Lagrangeovy rovnice a tak vůbec: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/~dolejsi/talir.pdf
• Vačkový mechanismus: https://web.archive.org/web/20090619023651/http://www.spszr.cz/~blazicek/Projekt/vack_mech/vacky.htm

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii