Eisensteinovo kritérium

Z Multimediaexpo.cz

Eisensteinovo kritérium nerozložitelnosti je v matematice, zejména v jejím podoboru algebře, postačující, ale nikoliv nutnou podmínkou pro nerozložitelnost polynomu s celočíselnými koeficienty v racionálních číslech.

Kritérium je pojmenováno po německém matematikovi Gottholdu Eisensteinovi, který jej zveřejnil v časopise Journal für die reine und angewandte Mathematik v roce 1850. Někdy se také nazývá Schönemannovo kritérium nebo Eisensteinovo-Schönemannovo kritérium, protože německý matematik Theodor Schönemann zveřejnil ve stejném časopise jinou formulaci tohoto kritéria už v roce 1846.

Obsah 1 Moderní formulace kritéria 1.1 Celočíselné polynomy 1.2 Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty 1.3 Zobecnění pro gaussovské obory 1.4 Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů 2 Reference

Moderní formulace kritéria

Celočíselné polynomy

Nechť je \(f(x)\) mnohočlen stupně \(n\) s koeficienty z oboru celých čísel, tedy \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\), a nechť existuje prvočíslo \(p\) takové, že dělí všechny koeficienty kromě vedoucího, ten nedělí a jeho čtverec také nedělí konstantní koeficient, tedy:

• \(p \mid a_i\) pro všechna \(i < n\),
• \(p^2 \nmid a_0\) a
• \(p \nmid a_n\),

pak je mnohočlen \(f(x)\) ireducibilní v oboru \(\mathbb{Q}[x]\), tedy v oboru polynomů s racionálními koeficienty.^[1]

Jiná možná formulace podmínky ohledně dělitelnosti vedoucího koeficientu uvažuje pouze normovaný polynom, tedy s vedoucím koeficientem rovným jedné.^[2]

Zobecnění pro polynomy s racionálními koeficienty

Lze vyslovit i podobu pro mnohočleny, jejichž koeficienty jsou tvořeny zlomky: Nechť je \(f(x)=\frac{b_n}{c_n}x^n+\cdots+\frac{b_1}{c_1}x+\frac{b_0}{c_0}\), kde zlomky jsou v základním tvaru, tedy největší společný dělitel \(NSD(b_i,c_i)\) je roven jedné. Nechť je dále prvočíslo \(p\) takové, že

• \(p\) dělí \(b_k\) pro \(k\le n\),
• \(p\) nedělí \(b_n\) a \(c_n\) a
• \(p^2\) nedělí \(b_0\).

Pak je \(f(x)\) nad tělesem racionálních čísel ireducibilní.^[3]

Zobecnění pro gaussovské obory

Nechť je \(R\) Gaussův obor integrity a \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu \(R[x]\). Pak pokud je \(f(x)\) primitivní a existuje ireducibilní prvek \(p\in R\) splňující

• \(p \mid a_i\) pro všechna \(i<n\),
• \(p^2 \nmid a_0\) a

pak je polynom \(f(x)\) v \(R[x]\) ireducibilní.^[4]

Zobecnění pro obory integrity pomocí ideálů

Nechť je \(R\) obor integrity a \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) mnohočlen z jeho polynomiálního okruhu \(R[x]\). Pokud existuje v oboru \(R\) prvoideál \(P\) takový, že

• \(a_i \in P\) pro všechna \(i < n \),
• \(a_n\notin P\) a
• \(a_0 \notin P^2\) (\(P^2\) je součin ideálu \(P\) s ním samým),

pak nelze zapsat \(f(x)\) jako součin dvou nekonstantních polynomů v \(R[x]\). Je-li navíc \(f(x)\) primitivním polynomem, tedy nemá-li konstantní dělitele, pak je ireducibilní v \(R[x]\). Pokud je \(R\) Gaussův obor integrity a jeho podílovým tělesem je \(T\), pak je v něm ireducibilní bez ohledu na svoji primitivitu (konstanty z \(R\) jsou v \(T\) jednotkami).

Reference

1. ↑ VLADIMÍR, Kořínek. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1953.  
2. ↑ MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett. Algebra. Překlad Anton Legéň, Jaroslav Smítal. Bratislava : Alfa, 1974. (slovensky) 
3. ↑ HANČL, Jaroslav; NOVOTNÝ, Lukáš; ŠUSTEK, Jan. 21. ročník Mezinárodní matematické soutěže Vojtěcha Jarníka. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 2011, roč. 56, čís. 3. Dostupné online.  
4. ↑ STANOVSKÝ, David. Základy algebry. Praha : Matfyzpress, 2010. ISBN 978-80-7378-105-7.  

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii