Úplný svaz

Z Multimediaexpo.cz

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima).

Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

Obsah [skrýt] 1 Definice 2 Příklady a vlastnosti 2.1 Úplný svaz potenční algebry 2.2 Svazy, které nejsou úplné 2.3 Zúplnění svazu reálných čísel 3 Související články 4 Externí odkazy

Definice

Množinu $X$ uspořádanou relací $R$ nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
$(\mathrm{\forall }Y\subseteq X)(\mathrm{\exists }i,s\in X)(i={inf}_R(Y)\wedge s={sup}_R(Y))$

Příklady a vlastnosti

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Úplný svaz potenční algebry

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy $X=\mathbb{P}(X_0)$ potenční množina a $Y\subseteq X$ je nějakou množinou podmnožin $X_0$

• $in{f}_{\subseteq }(Y)=\bigcap Y$
• $su{p}_{\subseteq }(Y)=\bigcup Y$

Svazy, které nejsou úplné

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny $X$).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

Zúplnění svazu reálných čísel

O reálných číslech $\mathbb{R}$ víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z $\mathbb{R}$ jejich rozšířením o dva prvky: $+\mathrm{\infty }$ je větší, než všechny čísla z $\mathbb{R}$ a $-\mathrm{\infty }$ je menší, než všechna čísla z $\mathbb{R}$. (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že $-\mathrm{\infty }<+\mathrm{\infty }$ ).

Získali jsme množinu $\mathbb{R}\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$, která již je úplný svaz:

• omezené množiny z $\mathbb{R}$ mají supremum a infimum v $\mathbb{R}$
• zdola neomezená množina z $\mathbb{R}$ má infimum $-\mathrm{\infty }$
• shora neomezená množina z $\mathbb{R}$ má supremum $+\mathrm{\infty }$
• množina obsahující $-\mathrm{\infty }$ má infimum $-\mathrm{\infty }$
• množina obsahující $+\mathrm{\infty }$ má supremum $+\mathrm{\infty }$

Související články

• Svaz
• Potenční algebra
• Reálná čísla
• Dedekindův řez

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii