Aritmetická míra

Z Multimediaexpo.cz

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech. Neformálně je to funkce, která množině přiřazuje počet jejích prvků.

Definice

Mějme měřitelný prostor $(X,\mathcal{P}(X))$, kde $X$ je libovolná množina a $\mathcal{P}$ značí potenční množinu ($\mathcal{P}(X)$ je speciální případ σ-algebry na $X$). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro $A\in \mathcal{P}(X)$ takto:

$\alpha (A)=\{\begin{array}{ll}|A|& \text{pokud A je konečná množina}\\ \mathrm{\infty }& \text{pokud A není konečná}\end{array}$

Vztah sumy a integrálu

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina $\mathbb{N}$ měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) $g:\mathbb{N}\to \mathbb{C}$ platí:

${\int }_{\mathbb{N}}g\mathrm{d}\alpha =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}g(n)$ Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění L_p prostoru na množině posloupností.

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii