Sigma algebra

Z Multimediaexpo.cz

\(\sigma\)-algebra (sigma-algebra, též \(\sigma\)-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků.

Prefix \(\sigma\) v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice

Systém \(\mathcal{A} \) podmnožin množiny \(\mathcal{\Omega}\) nazveme \(\sigma\)-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

1. \(\emptyset\in\mathcal{A}\)
2. jestliže \((\forall n \in \mathbb{N}) (M_{n} \in \mathcal{A})\), pak \(\bigcup_{n=1}^{\infty} M_{n} \in \mathcal{A}\)
3. jestliže \(M \in \mathcal{A}\), pak \(\Omega \setminus M \in \mathcal{A}\)

Další vlastnosti

• \(\sigma\)-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: \(\left(\bigcup_{M \in \mathcal{A}} M\right) \in \mathcal{A}\); dostaneme dosazením prázdné množiny za \(M\) v poslední části definice
• \(\sigma\)-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže \((\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R})\), pak \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}\)

Použití

Koncept \(\sigma\)-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je \(\sigma\)-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině \(\Omega\) hodnotu 1.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice \((\Omega,\mathcal{A}) \), kde \(\Omega\) je libovolná množina a \(\mathcal{A}\) je \(\sigma\)-algebra na \(\Omega\) nazývá měřitelný prostor a množiny \(\mathcal{S} \in \mathcal{A}\) nazýváme měřitelné množiny.

Související články

• \(\sigma\)-okruh
• Pravděpodobnost