Gravitační potenciál

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 14. 8. 2022, 14:51; Sysop (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Gravitační potenciál je skalární fyzikální veličina, která vyčísluje potenciální energii tělesa o jednotkové hmotnosti (v jednotkách SI 1 kg) v gravitačním poli ostatních těles. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere nekonečně vzdálený bod. Hodnota gravitačního potenciálu je proto záporná.

Protože gravitační potenciál vyjadřuje měrnou energii, je jeho jednotkou v soustavě SI joule na kilogram (J/kg).

Gradientem gravitačního potenciálu je gravitační zrychlení.

Obsah

[skrýt]

Gravitační potenciál hmotného bodu a kulově souměrného tělesa

Gravitační potenciál hmotného bodu je v newtonovské fyzice vyjádřen vzorcem

ϕ(r)=GMr,
  • G je gravitační konstanta (někdy označována také κ)
  • M je hmotnost hmotného bodu
  • r je vzdálenost od hmotného bodu

Stejný vzorec platí (přesně) i pro gravitační potenciál vně sféricky symetrického tělesa (nad jeho povrchem), r pak vyjadřuje vzdálenost od středu takového tělesa. Proto lze například v astronomii nahradit ve výpočtech kosmická tělesa hmotnými body.

Gravitační potenciál sféricky symetrické kulové slupky je v dutině této slupky všude stejný. Gravitační zrychlení a tedy i tíha, způsobené touto slupkou, jsou proto uvnitř nulové. To umožňuje spočítat gravitační potenciál pod povrchem planet: pro výpočet se zahrne jen hmota planety, mající větší hloubku, než místo, pro nějž se potenciál počítá (Přesně to však platí pouze tehdy, je-li v dané hloubce hustota všude stejná).

Rychlost tělesa na kruhové dráze je v tomto potenciálu rovna Keplerovské rychlosti

vk=GMr,

Úniková rychlost je

vesc=2GMr=2 vk.

Plummerův potenciál

Protože se hmotný bod špatně integruje, je nutné ho šikovně "rozmazat". Jedním ze způsobů, jak to udělat, je použít Plummerovu sféru, jejíž potenciál je

ϕP(r)=GMr2+b2,

kde b je parametr.

Z Poissonovy rovnice pak odvodíme funkční závislost hustoty ρ na poloměru r.

ρP(r)=3M4πb3(1+r2b2)5/2

Přičemž tato hustota jde do nekonečna, ale nediverguje.

Kuzminův potenciál

Analogie Plummerovy sféry ve válcových souřadnicích (opět "rozmazáváme" potenciál hmotného bodu).

ϕK(R,z)=GMR2+(a+|z|)2,

  • R je vzdálenost v rovině xy
  • a je parametr
  • |z| je absolutní hodnota vzdálenosti ve směru osy z.

Poissonova rovnice ve válcových souřadnicích vede na povrchovou hustotu

ΣK(R)=aM2π(R2+a2)3/2.

Miyamoto−Nagai potenciál

Toto je zobecnění všech předchozích potenciálů.

ϕMN(R,z)=GMR2+(a+z2+b2)2.

Pokud

  • a=0 a b=0 ... přechází v potenciál hmotného bodu, neboť r=R2+z2
  • a=0 a b0 ... přechází v Plummerův potenciál
  • a0 a b=0 ... přechází v Kuzminův potenciál, neboť |z|=z2.

Tedy pokud je ba, odpovídá to přibližně rozložení potenciálu disku s centrální výdutí (např. galaxie), pokud je ba, dostáváme přibližně potenciál koule.

Z Poissonovy rovnice lze odvodit hustota

ρMN(R,z)=(b2M4π)aR2+(a+3z2+b2)(a+z2+b2)2[R2+(a+z2+b2)2]5/2(z2+b2)3/2

Související články