V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Zlatý prostorový úhel
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 1: | Řádka 1: | ||
'''Zlatý prostorový úhel''' se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli: | '''Zlatý prostorový úhel''' se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli: | ||
| - | :<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</ | + | :<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)</big> - mysleno v steradiánech |
| - | :<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi</ | + | :<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi\)</big> |
==Výpočet== | ==Výpočet== | ||
{{RIGHTTOC}} | {{RIGHTTOC}} | ||
=== Výpočet užitím zlatého řezu === | === Výpočet užitím zlatého řezu === | ||
| - | Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným [[zlatý řez]] (<big>\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}</ | + | Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným [[zlatý řez]] (<big>\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}\)</big>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly: |
| - | :<big>\(\beta = \varphi\alpha</ | + | :<big>\(\beta = \varphi\alpha\)</big> |
| - | :<big>\(4 \pi = \varphi\beta</ | + | :<big>\(4 \pi = \varphi\beta\)</big> |
Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme: | Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme: | ||
| - | :<big>\(4 \pi = \varphi^2\alpha</ | + | :<big>\(4 \pi = \varphi^2\alpha\)</big> |
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu: | Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu: | ||
| - | :<big>\(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha </ | + | :<big>\(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha \)</big> |
===Výpočet bez znalosti zlatého řezu=== | ===Výpočet bez znalosti zlatého řezu=== | ||
| Řádka 26: | Řádka 26: | ||
Úloha je zadána dvěma rovnicemi. | Úloha je zadána dvěma rovnicemi. | ||
| - | :<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</ | + | :<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)</big> |
| - | :<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi</ | + | :<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi\)</big> |
Z druhé rovnice vyjádříme ''β'' a dosadíme jej do první rovnice. | Z druhé rovnice vyjádříme ''β'' a dosadíme jej do první rovnice. | ||
| - | :<big>\(\beta = 4\pi - \alpha</ | + | :<big>\(\beta = 4\pi - \alpha\)</big> |
| - | :<big>\(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}</ | + | :<big>\(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}\)</big> |
Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků. | Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků. | ||
| - | :<big>\(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2</ | + | :<big>\(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2\)</big> |
| - | :<big>\(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2</ | + | :<big>\(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2\)</big> |
A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny ''α<sub>1</sub>'' a ''α<sub>2</sub>''. | A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny ''α<sub>1</sub>'' a ''α<sub>2</sub>''. | ||
| - | :<big>\(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}</ | + | :<big>\(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}\)</big> |
| - | :<big>\(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}</ | + | :<big>\(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}\)</big> |
| - | :<big>\(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}</ | + | :<big>\(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}\)</big> |
==Související články== | ==Související články== | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54
Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:
- \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\) - mysleno v steradiánech
- \(\alpha + \beta = 4 \pi\)
Výpočet
Obsah |
Výpočet užitím zlatého řezu
Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}\)), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
- \(\beta = \varphi\alpha\)
- \(4 \pi = \varphi\beta\)
Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:
- \(4 \pi = \varphi^2\alpha\)
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:
- \(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha \)
Výpočet bez znalosti zlatého řezu
Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.
Úloha je zadána dvěma rovnicemi.
- \(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)
- \(\alpha + \beta = 4 \pi\)
Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.
- \(\beta = 4\pi - \alpha\)
- \(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}\)
Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.
- \(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2\)
- \(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2\)
A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.
- \(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}\)
- \(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}\)
- \(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}\)
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |