V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Homeomorfismus
Z Multimediaexpo.cz
(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 3: | Řádka 3: | ||
== Definice == | == Definice == | ||
| - | [[Zobrazení (matematika)|Zobrazení]] <big>\(f:X \rightarrow Y</ | + | [[Zobrazení (matematika)|Zobrazení]] <big>\(f:X \rightarrow Y\)</big> se nazývá '''homeomorfismus''', pokud |
# je [[bijekce|bijektivní]] | # je [[bijekce|bijektivní]] | ||
# je [[spojité zobrazení|spojité]] | # je [[spojité zobrazení|spojité]] | ||
| - | # [[Inverzní zobrazení]] <big>\(f^{-1}:Y \rightarrow X</ | + | # [[Inverzní zobrazení]] <big>\(f^{-1}:Y \rightarrow X\)</big> je spojité. |
| - | Pokud existuje homeomorfismus <big>\(X</ | + | Pokud existuje homeomorfismus <big>\(X\)</big> [[Zobrazení na|na]] <big>\(Y\)</big>, jsou prostory <big>\(X\)</big> a <big>\(Y\)</big> '''homeomorfní'''. Homeomorfismy jsou [[Ekvivalence (matematika)|ekvivalence]] na [[Třída ekvivalence|třídách]] topologických prostorů. |
== Příklady == | == Příklady == | ||
| Řádka 15: | Řádka 15: | ||
* [[Identita (matematika)|Identické zobrazení]] na [[Topologický prostor|topologickém prostoru]] je vždy [[spojitost|spojité]] a proto je homeomorfismem. Jiná je však situace, pokud na jedné množině uvažujeme dvě různé topologie (tedy dva různé [[Topologický prostor#Definice|seznamy otevřených množin]]). Například na reálných číslech můžeme uvažovat obvyklou topologii a [[Diskrétní topologie|diskrétní topologii]] (v níž je každá množina otevřená i uzavřená). Identické zobrazení z topologického prostoru (A, T<sub>1</sub>) do (A, T<sub>2</sub>) je homeomorfismem, právě když T<sub>1</sub> = T<sub>2</sub>, tedy pokud T<sub>1</sub> a T<sub>2</sub> označují tutéž topologickou strukturu. | * [[Identita (matematika)|Identické zobrazení]] na [[Topologický prostor|topologickém prostoru]] je vždy [[spojitost|spojité]] a proto je homeomorfismem. Jiná je však situace, pokud na jedné množině uvažujeme dvě různé topologie (tedy dva různé [[Topologický prostor#Definice|seznamy otevřených množin]]). Například na reálných číslech můžeme uvažovat obvyklou topologii a [[Diskrétní topologie|diskrétní topologii]] (v níž je každá množina otevřená i uzavřená). Identické zobrazení z topologického prostoru (A, T<sub>1</sub>) do (A, T<sub>2</sub>) je homeomorfismem, právě když T<sub>1</sub> = T<sub>2</sub>, tedy pokud T<sub>1</sub> a T<sub>2</sub> označují tutéž topologickou strukturu. | ||
| - | * Otevřený [[Interval (matematika)|interval]] (-1, 1) je homeomorfní množině [[Reálné číslo|reálných čísel]], příkladem je homeomorfismus <big>\(x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2</ | + | * Otevřený [[Interval (matematika)|interval]] (-1, 1) je homeomorfní množině [[Reálné číslo|reálných čísel]], příkladem je homeomorfismus <big>\(x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2\)</big>. |
<!-- * Elementární funkce sin x, cos x a e<sup>x</sup> jsou [[spojitost|spojité]] na R s [[Eukleidova topologie|Eukleidovou | <!-- * Elementární funkce sin x, cos x a e<sup>x</sup> jsou [[spojitost|spojité]] na R s [[Eukleidova topologie|Eukleidovou | ||
topologií]]. Funkce tg x, ln x jsou spojité na svém definičním oboru. --> | topologií]]. Funkce tg x, ln x jsou spojité na svém definičním oboru. --> | ||
Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52
Homeomorfismus (z řeckého homeos = stejný, morphe = tvar) je vzájemně jednoznačné zobrazení mezi topologickými prostory, které zachovává topologické vlastnosti. Homeomorfismus je tedy jiný název pro izomorfismus topologických prostorů. Dva prostory, mezi kterými je homeomorfismus se nazývají homeomorfní. Z pohledu topologie jsou stejné (mají stejné vlastnosti).
Definice
Zobrazení \(f:X \rightarrow Y\) se nazývá homeomorfismus, pokud
- je bijektivní
- je spojité
- Inverzní zobrazení \(f^{-1}:Y \rightarrow X\) je spojité.
Pokud existuje homeomorfismus \(X\) na \(Y\), jsou prostory \(X\) a \(Y\) homeomorfní. Homeomorfismy jsou ekvivalence na třídách topologických prostorů.
Příklady
- Identické zobrazení na topologickém prostoru je vždy spojité a proto je homeomorfismem. Jiná je však situace, pokud na jedné množině uvažujeme dvě různé topologie (tedy dva různé seznamy otevřených množin). Například na reálných číslech můžeme uvažovat obvyklou topologii a diskrétní topologii (v níž je každá množina otevřená i uzavřená). Identické zobrazení z topologického prostoru (A, T1) do (A, T2) je homeomorfismem, právě když T1 = T2, tedy pokud T1 a T2 označují tutéž topologickou strukturu.
- Otevřený interval (-1, 1) je homeomorfní množině reálných čísel, příkladem je homeomorfismus \(x \rightarrow \operatorname{tg}\ \pi x / 2\).
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |