The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Zlatý prostorový úhel

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Masivní vylepšení)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
'''Zlatý prostorový úhel''' se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:
'''Zlatý prostorový úhel''' se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:
-
:<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math> - mysleno v steradiánech
+
:<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)</big> - mysleno v steradiánech
-
:<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>
+
:<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi\)</big>
==Výpočet==
==Výpočet==
{{RIGHTTOC}}
{{RIGHTTOC}}
=== Výpočet užitím zlatého řezu ===
=== Výpočet užitím zlatého řezu ===
-
Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným [[zlatý řez]] (<math> \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}</math>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
+
Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným [[zlatý řez]] (<big>\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}\)</big>), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:
-
:<math>\beta = \varphi\alpha</math>
+
:<big>\(\beta = \varphi\alpha\)</big>
-
:<math>4 \pi = \varphi\beta</math>
+
:<big>\(4 \pi = \varphi\beta\)</big>
Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:
Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:
-
:<math>4 \pi = \varphi^2\alpha</math>  
+
:<big>\(4 \pi = \varphi^2\alpha\)</big>  
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:
Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:
-
:<math>\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha </math>
+
:<big>\(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha \)</big>
===Výpočet bez znalosti zlatého řezu===
===Výpočet bez znalosti zlatého řezu===
Řádka 26: Řádka 26:
Úloha je zadána dvěma rovnicemi.
Úloha je zadána dvěma rovnicemi.
-
:<math>\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}</math>
+
:<big>\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)</big>
-
:<math>\alpha + \beta = 4 \pi</math>
+
:<big>\(\alpha + \beta = 4 \pi\)</big>
Z druhé rovnice vyjádříme ''&beta;'' a dosadíme jej do první rovnice.
Z druhé rovnice vyjádříme ''&beta;'' a dosadíme jej do první rovnice.
-
:<math>\beta = 4\pi - \alpha</math>
+
:<big>\(\beta = 4\pi - \alpha\)</big>
-
:<math>\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}</math>
+
:<big>\(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}\)</big>
Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.
Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.
-
:<math>4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2</math>
+
:<big>\(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2\)</big>
-
:<math>0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2</math>
+
:<big>\(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2\)</big>
A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny ''&alpha;<sub>1</sub>'' a ''&alpha;<sub>2</sub>''.
A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny ''&alpha;<sub>1</sub>'' a ''&alpha;<sub>2</sub>''.
-
:<math>\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}</math>
+
:<big>\(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}\)</big>
-
:<math>\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}</math>
+
:<big>\(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}\)</big>
-
:<math>\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}</math>
+
:<big>\(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}\)</big>
==Související články==
==Související články==

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Zlatý prostorový úhel se v geometrii nazývá úhel, který rozděluje kouli na dva úhly α a β pro které platí, že poměr menšího úhlu α k většímu β je rovný poměru většího úhlu k celé kouli:

\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\) - mysleno v steradiánech
\(\alpha + \beta = 4 \pi\)

Výpočet

Obsah

Výpočet užitím zlatého řezu

Zlatý úhel souvisí s číslem nazývaným zlatý řez (\( \varphi = \frac {1+ \sqrt 5}{2}\)), což je vlastně poměr mezi jednotlivými úhly:

\(\beta = \varphi\alpha\)
\(4 \pi = \varphi\beta\)

Po vzájemném dosazení rovnic dostaneme:

\(4 \pi = \varphi^2\alpha\)

Z tohoto vztahu můžeme vypočítat hodnotu zlatého prostorového úhlu:

\(\frac {4 \pi} {\varphi^2} = \alpha \)

Výpočet bez znalosti zlatého řezu

Pokud nevíme o existenci zlatého řezu nebo jeho souvislosti se zlatým prostorovým úhlem, můžeme se pokusit spočítat velikost zlatého prostorového úhlu jinak.

Úloha je zadána dvěma rovnicemi.

\(\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta}{4\pi}\)
\(\alpha + \beta = 4 \pi\)

Z druhé rovnice vyjádříme β a dosadíme jej do první rovnice.

\(\beta = 4\pi - \alpha\)
\(\frac{\alpha}{4\pi - \alpha} = \frac{4\pi - \alpha}{4\pi}\)

Vynásobením čitatelů jmenovateli se zbavíme zlomků.

\(4 \pi \alpha = 16 \pi^2 - 8 \pi \alpha + \alpha^2\)
\(0 = 16 \pi^2 - 12 \pi \alpha + \alpha^2\)

A z kvadratické rovnice vypočteme dva kořeny α1 a α2.

\(\alpha_{1,2} = \frac {12 \pi \pm \sqrt {80} \pi} {32}\)
\(\alpha_{1} = \frac {12 \pi + \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\sqrt {14} \pi}{8}\)
\(\alpha_{2} = \frac {12 \pi - \sqrt {80} \pi} {32} = \frac {\pi}{4}\)

Související články


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Zlat%C3%BD_prostorov%C3%BD_%C3%BAhel“