Průnik

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 15. 8. 2022, 17:04

Průnik množin A a B

V matematice se jako průnik dvou nebo více množin označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách a obsahuje všechny takové prvky. Průnik množin A a B se označuje symbolem A ∩ B.

Formální definice

Pro všechna x platí, že $x \in (A \cap B) \equiv (x \in A) \land (x \in B)$ .

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz asociativita níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že x ∈ A ∩ B ∩ C iff x ∈ A a zároveň x ∈ B a zároveň x ∈ C. Průnik $n$ množin $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ lze zkráceně psát

$A_{1} \cap A_{2} \cap . . . \cap A_{2} = ⋂_{i =_{1}}^{n} A_{i}$

Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny sudých kladných čísel { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

Vlastnosti

Operace průniku dvou množin (jakožto binární operace) je asociativní, tzn. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Současný průnik všech tří množin – A ∩ B ∩ C – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je komutativní operace, platí tedy, že A ∩ B = B ∩ A.

Neutrálním prvkem pro operaci průniku je univerzum, tzn. množina všech prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy $A \cap I = A$ .

Výsledkem průniku množiny $A$ s prázdnou množinou je opět prázdná množina, tzn. $A \cap \emptyset = \emptyset$ .

Je-li výsledkem průniku dvou množin $A, B$ prázdná množina, pak platí $A \cap B \leftrightarrow B \subseteq - A$ , kde $- A$ je dopňkem množiny $A$ .

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o logické spojce a zároveň.

Mohutnost průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |A ∩ B| ≤ min { |A|, |B| }.

Průnik je idempotentní, tzn. platí $A \cap A = A$ .

Související články

Množinové operace

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 == Formální definice ==
-Pro všechna ''x'' platí, že <big>\(x \in \left ( A  \cap B \right  ) \equiv \left ( x \in A \right  ) \and \left (x \in B \right ) \)</big>.
+Pro všechna ''x'' platí, že <big>\(x \in \left ( A  \cap B \right  ) \equiv \left ( x \in A \right  ) \land \left (x \in B \right ) \)</big>.
 V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <big> $n$ </big> množin <big> $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ </big> lze zkráceně psát