Ideál (teorie okruhů)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Ideál je matematický pojem z oblasti algebry označující podmnožinu nějakého okruhu s jistými „dobrými“ vlastnostmi.

Tak jako normální podgrupy jsou speciálními případy podgrup, jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného okruhu.

Definice

Množina \(\emptyset \neq I \subseteq R\), kde R je okruh, se nazývá levý resp. pravý ideál, má-li následující vlastnosti:

pro každé \(a,b \in I\) je také \(a-b \in I\)
pro každé \(a \in I\) a každé \(r \in R\) je také \(r\cdot a \in I\) resp. \(a\cdot r \in I\)

Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Nechť (R, +, •) je okruh, M je libovolná podmnožina množiny R. Potom průnik všech ideálů v R, které obsahují množinu M, je ideál v R, který se nazývá ideálem generovaným množinou a značí se [M]. Množina M se nazývá systém generátorů ideálu [M] a její prvky generátory tohoto ideálu.

Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál R.

Příklady ideálů

V každém okruhu R jsou množiny {0} a R ideály. Tyto ideály se nazývají triviální ideály v R. Ideál, který není triviální se nazývá netriviální nebo také vlastní.
Každá podmnožina tvaru \((a)=\{a\cdot r;r\in R\}\) je ideál v R. Ideály tvaru (a) se nazývají hlavní ideály v R.
V okruhu celých čísel je množina všech sudých čísel ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (Q,+,•) tvoří celá čísla podokruh (Z,+,•). Ten však není ideálem v Q, neboť nesplňuje podmínku: pro každé \(a \in I\) a každé \(r \in R\) je také \(r\cdot a \in I\) resp. \(a\cdot r \in I\). Stačí volit třeba \( a = 3, r = { \frac{1}{2}} \), pak \(3 \in Z\) a \( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z \)

Operace s ideály

průnik ideálů I,J je ideál \(I\cap J\), který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech I,J.
součet ideálů I,J je ideál \(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}\), který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály I,J.
součin ideálů I,J je ideál \(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}\)

Vlastnosti

Ideál I v okruhu R se nazývá maximální ideál, je-li \(I \neq R\) a pro každý ideál J, že \(I\subseteq J\), je I = J nebo J = R.
Ideál I v okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže pro každé \(a,b \in R\) takové, že \(a\cdot b \in I\), je buďto \(a \in I\) nebo \(b \in I\).
Jsou-li \(a_1, a_2, \) … , \(a_k\) libovolné prvky z ideálu I v okruhu R, je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z R prvkem ideálu I, tj. \((\forall r_1, r_2, \)… , \( r_k \in R)\) \(a_1r_1 + a_2r_2 + \)… \( + a_kr_k \in I\).

Příklad:

V okruhu celých čísel Z máme určit ideál I = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ I a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ I . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje I všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina I okruhu R je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v Z, je I = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.

Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál I z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. I = [2], a též například I = [6, 8, -10].

Platí věta: Každý maximální ideál je prvoideál. Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však R je číselný okruh (tj. podokruh okruhu komplexních algebraických celých čísel), je každý prvoideál v R maximálním ideálem.

Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět okruh.
Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu obor integrity.
Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne těleso.

Věta

Nechť R je okruh s jednotkovým prvkem a nechť \( M = \{a_1, a_2, \)… \( , a_k \sube R\}\). Pak ideál [M] se skládá právě ze všech prvků tvaru \((\forall r_1, r_2, \)… , \( r_k \in R)\) \(a_1r_1 + a_2r_2 + \)… \( + a_kr_k \in I\), tj. [M] = I, kde \(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + \)… \( + a_kr_k; r_1, r_2, \)… \( , r_k\in R\}\).

Příklad užití této věty

V okruhu Z[x] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [x, 2]. Podle věty výše (v Z[x] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: \(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) \) kde \(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]\).

Tedy [x, 2] je množina všech polynomů \(a_0 + a_1x + \)… \( + a_x x^n \in Z[x]\), jejíž člen a₀ je sudé číslo. Ideál [x, 2] je tudíž vlastní podmnožina v Z[x].

Literatura

BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ. Algebra a teoretická aritmetika. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Ideál (teorie okruhů)|700}}
+'''''Ideál''''' je [[matematika|matematický]] pojem z oblasti [[algebra|algebry]] označující podmnožinu nějakého [[okruh (algebra)|okruhu]] s jistými „dobrými“ vlastnostmi.
+* Tak jako [[Normální podgrupa|normální podgrupy]] jsou speciálními případy [[Podgrupa|podgrup]], jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného [[Okruh (algebra)|okruhu]].
+== Definice ==
+Množina <big>\(\emptyset \neq I \subseteq R\)</big>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
+* pro každé <big>\(a,b \in I\)</big> je také <big>\(a-b \in I\)</big>
+* pro každé <big>\(a \in I\)</big> a každé <big>\(r \in R\)</big> je také <big>\(r\cdot a \in I\)</big> resp. <big>\(a\cdot r \in I\)</big>
+Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.
+Nechť (''R'', +, •) je okruh, ''M'' je libovolná podmnožina množiny ''R''. Potom průnik všech ideálů v ''R'', které obsahují množinu ''M'', je ideál v ''R'', který se nazývá '''ideálem generovaným množinou''' a značí se [''M'']. Množina ''M'' se nazývá '''systém generátorů''' ideálu [''M''] a její prvky '''generátory''' tohoto ideálu.
+Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál ''R''.
+== Příklady ideálů ==
+* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.
+* Každá podmnožina tvaru <big>\((a)=\{a\cdot r;r\in R\}\)</big> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
+* V okruhu [[celé číslo|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
+* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <big>\(a \in I\)</big> a každé <big>\(r \in R\)</big> je také <big>\(r\cdot a \in I\)</big> resp. <big>\(a\cdot r \in I\)</big>. Stačí volit třeba <big>\( a = 3, r = { \frac{1}{2}} \)</big>, pak <big>\(3 \in Z\)</big> a <big>\( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z \)</big>
+== Operace s ideály ==
+* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I\cap J\)</big>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
+* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}\)</big>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
+* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}\)</big>
+== Vlastnosti ==
+* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <big>\(I \neq R\)</big> a pro každý ideál ''J'', že <big>\(I\subseteq J\)</big>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
+* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)|prvoideál]]''', jestliže pro každé <big>\(a,b \in R\)</big> takové, že <big>\(a\cdot b \in I\)</big>, je buďto <big>\(a \in I\)</big> nebo <big>\(b \in I\)</big>.
+* Jsou-li  <big>\(a_1, a_2, \)</big> … , <big>\(a_k\)</big> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <big>\((\forall r_1, r_2, \)</big>… , <big>\( r_k \in R)\)</big> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + \)</big>… <big>\( + a_kr_k \in I\)</big>.
+'''Příklad:'''
+V okruhu celých čísel '''Z''' máme určit ideál ''I'' = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ ''I'' a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ ''I'' . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje ''I'' všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina ''I'' okruhu '''R''' je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v '''Z''', je ''I'' = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.
+Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál ''I'' z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. ''I'' = [2], a též například ''I'' = [6, 8, -10].
+Platí věta: ''Každý maximální ideál je prvoideál.'' Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však ''R'' je číselný okruh (tj. podokruh okruhu [[komplexní číslo|komplexních]] algebraických celých čísel), je každý prvoideál v ''R'' maximálním ideálem.
+* Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět [[okruh (algebra)|okruh]].
+* Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu [[obor integrity]].
+* Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne [[těleso (algebra)|těleso]].
+== Věta ==
+Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <big>\( M = \{a_1, a_2, \)</big>… <big>\( , a_k \sube R\}\)</big>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <big>\((\forall r_1, r_2, \)</big>… , <big>\( r_k \in R)\)</big> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + \)</big>… <big>\( + a_kr_k \in I\)</big>, tj. [''M''] = ''I'', kde <big>\(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + \)</big>… <big>\( + a_kr_k; r_1, r_2, \)</big>… <big>\( , r_k\in R\}\)</big>.
+'''Příklad užití této věty'''
+V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <big>\(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) \)</big> kde <big>\(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]\)</big>.
+Tedy  [''x'', 2] je množina všech polynomů <big>\(a_0 + a_1x + \)</big>… <big>\( + a_x x^n \in Z[x]\)</big>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v  '''Z'''[''x''].
+== Literatura ==
+'''BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ'''. ''Algebra a teoretická aritmetika''. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).
+== Související články ==
+* [[Ideál (teorie uspořádání)]]
+* [[Normální podgrupa]]
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Algebraické struktury]]