D'Alembertův princip

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

d'Alembertův princip je důležité tvrzení týkající se zákonů pohybu v klasické mechanice. Představuje ekvivalentní vyjádření druhého Newtonova zákona. Nese jméno svého objevitele, kterým byl francouzský fyzik a matematik Jean le Rond d'Alembert (1717—1783). d'Alembertův princip je základem lagrangeovské mechaniky.

Tento princip říká: Přičtou-li se ke vtištěným silám (vnější síly i reaktivní síly vazeb) síly setrvačné, budou síly mechanického systému v rovnováze.

d'Alembertův princip bývá také formulován ve formě virtuálních prací: Při vratném virtuálním posunutí (tj. je-li systém podroben oboustranným vazbám) je virtuální práce všech efektivních sil systému nulová.

Obsah

1 Matematická formulace
2 Speciální případy
- 2.1 Žádné vazby
- 2.2 Žádná zrychlení
3 Důsledky
4 Literatura
5 Související články
6 Externí odkazy

Matematická formulace

Matematicky je vhodné princip zapisovat ve formě virtuálních prací, kdy není nutno uvažovat neefektivní vazbové síly.

Pro oboustranné vazby:

\(\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0\),

kde \(\mathbf{F}_i\) je výslednice vnějších sil působící na i-tou částici (hmotný bod) systému, \(\delta \mathbf{r}_i\) je virtuální posunutí \(i\)-té částice, které je v souladu s omezujícími podmínkami (vazbami), \(\mathbf{r}_i\) a \(m_i\) jsou její polohový vektor respektive hmotnost a \(\mathbf{a}_i = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2}\) její zrychlení.

Zobecnění pro jednostranné vazby:

\(\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i \leqq 0\).

Speciální případy

Žádné vazby

V případě, že neexistují žádné vazby, jsou virtuální posunutí \(\delta \mathbf{r}_i\,\!\) nezávislá a platí

\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i-\mathbf{F}_i=0\).

Princip tak přechází v Newtonovy pohybové rovnice jednotlivých volných částic systému:

\(\mathbf{F}_i = m_i\ddot{\mathbf{r}}_i\).

Žádná zrychlení

V případě pohybů částic systému bez zrychlení se d'Alembertův princip redukuje na podmínky rovnováhy:

\(\sum_{i=1}\mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i=0\)

Tento vztah představuje princip virtuální práce, podle kterého je práce vykonaná při libovolném virtuálním posunutí systému z rovnovážné polohy nulová.

Důsledky

Z d'Alembertova principu pro vratná virtuální posunutí a z rovnic vazeb přímo vyplývají Lagrangeovy rovnice prvního druhu.

Literatura

BRDIČKA, Miroslav; HLADÍK, Arnošt. Teoretická mechanika. Redakce Karel Juliš, Aleš Baďura, Petr Čech. 1. vyd. Praha : Academia, 1987. 584 s. 21-093-87. Kapitola 3.5 Princip d'Alembertův, s. 228-244.
LEECH, J. W.. Klasická mechanika. 1. vyd. Praha : SNTL, 1970. 136 s. (Teoretická knižnice inženýra.) 04-012-70. Kapitola Princip virtuální práce a d'Alembertův princip, s. 17-21.

Související články

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 9: / Řádka 9: @@
 Pro oboustranné vazby:
-:<big>\(\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0</math>,
+:<big>\(\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i = 0\)</big>,
-kde <big>\(\mathbf{F}_i</math> je výslednice vnějších sil působící na ''i''-tou [[částice|částici]] ([[hmotný bod]]) systému, <big>\(\delta \mathbf{r}_i</math> je [[virtuální posunutí]] <big>\(i</math>-té částice, které je v souladu s omezujícími podmínkami ([[vazba]]mi), <big>\(\mathbf{r}_i</math> a <big>\(m_i</math> jsou její [[polohový vektor]] respektive [[hmotnost]]&nbsp;a <big>\(\mathbf{a}_i = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2}</math> její zrychlení.
+kde <big>\(\mathbf{F}_i\)</big> je výslednice vnějších sil působící na ''i''-tou [[částice|částici]] ([[hmotný bod]]) systému, <big>\(\delta \mathbf{r}_i\)</big> je [[virtuální posunutí]] <big>\(i\)</big>-té částice, které je v souladu s omezujícími podmínkami ([[vazba]]mi), <big>\(\mathbf{r}_i\)</big> a <big>\(m_i\)</big> jsou její [[polohový vektor]] respektive [[hmotnost]]&nbsp;a <big>\(\mathbf{a}_i = \frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2}\)</big> její zrychlení.
 Zobecnění pro jednostranné vazby:
-:<big>\(\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i \leqq  0</math>.
+:<big>\(\sum_{i} ( \mathbf {F}_{i} - m_i \mathbf{a}_i )\cdot \delta \mathbf r_i \leqq  0\)</big>.
 == Speciální případy ==
 === Žádné vazby ===
-V případě, že neexistují žádné [[vazba|vazby]], jsou virtuální posunutí <big>\(\delta \mathbf{r}_i\,\!</math> [[lineární nezávislost|nezávislá]] a platí
+V případě, že neexistují žádné [[vazba|vazby]], jsou virtuální posunutí <big>\(\delta \mathbf{r}_i\,\!\)</big> [[lineární nezávislost|nezávislá]] a platí
-:<big>\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i-\mathbf{F}_i=0</math>.
+:<big>\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i-\mathbf{F}_i=0\)</big>.
 Princip tak přechází v [[Newtonovy pohybové zákony|Newtonovy pohybové rovnice]] jednotlivých volných částic systému:
-:<big>\(\mathbf{F}_i = m_i\ddot{\mathbf{r}}_i</math>.
+:<big>\(\mathbf{F}_i = m_i\ddot{\mathbf{r}}_i\)</big>.
 === Žádná zrychlení ===
 V případě pohybů částic systému bez [[zrychlení]] se d'Alembertův princip redukuje na ''podmínky [[rovnováha|rovnováhy]]'':
-:<big>\(\sum_{i=1}\mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i=0</math>
+:<big>\(\sum_{i=1}\mathbf{F}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i=0\)</big>
 Tento vztah představuje ''[[princip virtuální práce]]'', podle kterého je [[Práce (fyzika)|práce]] vykonaná při libovolném virtuálním posunutí systému z [[rovnovážná poloha|rovnovážné polohy]] [[nula|nulová]].