Bézoutova rovnost

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Bézoutova rovnost je lineární diofantická rovnice v teorii čísel. Říká, že největší společný dělitel dvou přirozených čísel a a b lze zapsat jako lineární kombinaci těchto dvou čísel, jejíž koeficienty jsou celá čísla – nazývají se Bézoutovy koeficienty nebo Bézoutova čísla:

\(\mathrm{NSD}(a, b) = \alpha a + \beta b; a,b\in\mathbb{N}; \alpha,\beta\in\mathbb{Z}\)

Algoritmus

Bézoutovy koeficienty lze určit rozšířeným Eukleidovým algoritmem. Tato čísla nejsou určena jednoznačně. Pokud jsou řešením koeficienty (α, β), pak existuje nekonečně mnoho dalších koeficientů:

\( \left\{ \left(\alpha+\frac{kb}{\mathrm{NSD}(a,b)},\ \beta-\frac{ka}{\mathrm{NSD}(a,b)}\right) \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \)

Příklad

Největší společný dělitel čísel 12 a 42 je 6. Bézoutova rovnost tedy je:

\(\alpha\cdot12 + \beta\cdot42 = 6\)

Jedno z možných řešení je (α, β) = (−3, 1), tedy (−3)·12 + 1·42 = 6. Jiné možné řešení je (4, −1).

Zobecnění

Bézoutova rovnost může být rozšířena jako lineární kombinace více než dvou čísel. Pro libovolná čísla \(a_1, \ldots, a_n\) se společným dělitelem d existují koeficienty \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) tak, že:

\(\alpha_1 a_1 + \cdots + \alpha_n a_n = d\)

Největší společný dělitel čísel \(a_1, \ldots, a_n\) je vlastně nejmenší kladné číslo, které lze zapsat jako lineární kombinaci \(a_1, \ldots, a_n\), jejíž koeficienty jsou celá čísla.

Bézoutova rovnost také existuje v jiných algebraických strukturách než v celých číslech. Nalézt ji pro libovolné dva prvky rozšířeným Eukleidovým algoritmem lze ve všech Eukleidovských oborech a ty obory, v nichž je zaručena její existence pro libovolné dva prvky, se nazývají Bézoutovy obory.

Důkaz

Ať d je největší společný dělitel čísel a a b, p = a / d a q = b / d, pak p a q jsou nesoudělná čísla. Uvažujme nyní čísla p, 2p, …, (q−1)p. Žádné z těchto čísel není kongruentní nule modulo q a jsou také jednoznačná modulo q. To znamená, že (p, 2p, …, (q−1)p) je permutace (1, 2, …, q − 1) modulo q. Proto musí existovat číslo α, 1 ≤ α ≤ q − 1 tak, že αp ≡ 1 (mod q). To znamená, že existuje i číslo β tak, že αp + βq = 1. Po vynásobení d dostaneme Bézoutovu rovnost αa + βb = d.

Externí odkazy

• Online kalkulačka Bézoutovy rovnosti (anglicky)