Moment hybnosti

Z Multimediaexpo.cz

Moment hybnosti je vektorová fyzikální veličina, která popisuje rotační pohyb tělesa. Moment hybnosti se určuje vzhledem k bodu nebo ose. Moment hybnosti bývá také označován jako kinetický moment, impulsmoment nebo točivost.

Obsah

Značení

  • Symbol veličiny: <math>\mathbf{L}</math> , někdy také b (vektor)
  • Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou za sekundu, značka jednotky: kg.m2.s-1

Výpočet

Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).

Moment hybnosti <math>\mathbf{L}</math> je určen vektorovým součinem jako

<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>,

kde <math>\mathbf{r}</math> je polohový vektor a <math>\mathbf{p}</math> je hybnost.

Vztah k momentu síly

Vyjdeme-li ze vztahu <math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}</math> pro moment síly, pak lze provést následující úpravu

<math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>,

kde <math>\mathbf{r}</math> je polohový vektor, <math>\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}</math> je rychlost, <math>m</math> je hmotnost tělesa (hmotného bodu) pohybujícího se po kruhové dráze, <math>\mathbf{M}</math> je moment síly a <math>\mathbf{L}</math> je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že vektorový součin <math>\mathbf{v}\times m\mathbf{v}</math> je roven nule (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz   <math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)</math>). Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu <math>O</math> je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí. V soustavě hmotných bodů platí pro <math>i</math>-tý hmotný bod podle vztah <math>\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}</math>. Z vlastností momentu síly pak plyne

<math>\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>,

kde <math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i</math> představuje celkový moment hybnosti.

Vztah k plošné rychlosti

S využitím druhého Keplerova zákona lze vyjádřit vztah mezi plošnou rychlostí <math>\mathbf{w}</math> a momentem hybnosti jako

<math>\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}</math>

Vztah k mometu setrvačnosti

Při kruhovém pohybu lze rychlost vyjádřit jako <math>\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}</math>. Moment hybnosti soustavy <math>n</math> hmotných bodů vzhledem k těžišti lze pak vyjádřit vztahem

<math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]</math>

kde <math>\mathbf{r}_i</math> označuje polohu <math>i</math>-tého hmotného bodu s hmotností <math>m_i</math> vzhledem k těžišti a <math>\mathbf{\omega}</math> je úhlová rychlost pohybu tělesa kolem osy rotace jdoucí těžištěm. Použitím dvojitého vektorového součinu dostaneme

<math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]</math>

Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti <math>\mathbf{\omega}</math> vhledem k libovolné soustavě souřadnic s počátkem v těžišti a pevně spojené s tělesem jako <math>\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> a složky průvodiče <math>\mathbf{r}_i</math> jako <math>x_i, y_i, z_i</math>, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření momentu setrvačnosti <math>J</math> pak lze získat

<math>L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}</math>
<math>L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}</math>
<math>L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}</math>

kde <math>J_i</math> jsou momenty setrvačnosti k <math>i</math>-té ose a <math>D_{ij}</math> jsou deviační momenty. Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního elipsoidu setrvačnosti, deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou

<math>L_1 = J_1 \omega_1</math>
<math>L_2 = J_2 \omega_2</math>
<math>L_3 = J_3 \omega_3</math>

Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky úhlové rychlosti k osám kolmým k rotační ose nulové a točivost lze zapsat jako

<math>\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}</math>

Rotační impuls

Pro časový účinek momentu síly můžeme v analogii s impulsem síly získat vztah pro rotační impuls <math>\mathbf{b}</math>

<math>\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}</math>

Pokud je silový moment <math>\mathbf{M}</math> po celou dobu působení stálý, je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar

<math>\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)</math>

Vlastnosti

Moment hybnosti má při rotačním pohybu stejný význam jako hybnost při pohybu přímočarém. Pojem momentu hybnosti je analogický pojmu hybnosti: tak jako je hybnost součinem hmotnosti a rychlosti v případě translačního pohybu, tak je moment hybnosti součinem momentu setrvačnosti a úhlové rychlosti v případě rotačního pohybu.

Součet momentů hybnosti vnitřních sil

Součet momentů hybnosti vnitřních sil v tuhém tělese je roven nule, protože: 1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice) 2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou Uvažme tedy vzoreček pro moment sil: <math>\mathbf{M}_i</math> je moment hybnosti <math>i</math>-tého bodu. Mezi <math>i</math>-tým a <math>j</math>-tým bodem působí síla <math>\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}</math>. Celkový moment hybnosti vnitřních sil je <math>\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}</math>. Uvažujme nyní pouze interakci <math>i</math>-tého a <math>j</math>-tého bodu: <math>\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}</math>, kde <math>\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j</math> je spojnice <math>i</math>-tého a <math>j</math>-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, vektorový součin rovnoběžných vektorů je roven nule.

Moment hybnosti v kvantové mechanice

V kvantové mechanice je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti (impulsmomentu) můžou být pouze násobky redukované Planckovy konstanty. Kvantován je i kvadrát momentu hybnosti. Zcela novou vlastností je spin částic, vnitřní moment hybnosti určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot. Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z principu korespondence, kvantový impulsmoment je tedy definován takto: <math>\bold{\hat{L}}=\bold{\hat{r}} \times {\hat{p}}</math> Z komutačních relací pro souřadnici a impuls <math>[\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}</math> lze odvodit komutační relace pro impulsmoment: <math>[\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n</math> Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí: <math>\bold{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle</math> <math>\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle</math> Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Související články

Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Moment_hybnosti“