Soustava hmotných bodů

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Soustavou hmotných bodů je nazývána množina hmotných bodů, které vyplňují objem tělesa. Soustava hmotných bodů se od jediného hmotného bodu odlišuje především tím, že mezi jednotlivými hmotnými body (tzn. uvnitř tělesa) mohou působit síly. Popisem pohybu soustavy hmotných bodů se zabývá mechanika soustavy hmotných bodů.

Volná soustava hmotných bodů

Neexistují-li mezi hmotnými body žádné vazby, pak jsou polohové vektory \(\mathbf{r}_i\) jednotlivých hmotných bodů soustavy vzájemně nezávislé. Taková soustava hmotných bodů se označuje jako volnou. Vzhledem k tomu, že každý polohový vektor má 3 souřadnice a polohové vektory jsou vzájemně nezávislé, je k určení polohy soustavy \(N\) hmotných bodů potřeba \(3N\) souřadnic. Volná soustava má tedy 3N stupňů volnosti. Pohyb hmotných bodů není ve volné soustavě nijak omezován (s výjimkou pohybových rovnic).

Vázaná soustava hmotných bodů

Většina úloh mechaniky vede ke studiu soustav hmotných bodů, jejichž pohyby jsou omezovány jistými podmínkami. Tyto podmínky se matematicky vyjadřují různými vztahy mezi souřadnicemi hmotných bodů dané soustavy a vyplývají z mechanických podmínek, za kterých se pohyb soustavy děje. Dané podmínky pak představují tzv. (mechanické) vazby, které jsou předepsány pro určitou soustavu. Soustavy hmotných bodů, které jsou omezeny vazbami se nazývájí vázanými soustavami. Příkladem může být pohyb bodu, který je vázán na nějakou plochu nebo křivku. Např. v dokonale tuhé soustavě hmotných bodů se nemění vzájemné vzdálenosti mezi jednotlivými hmotnými body soustavy (jinak by to samozřejmě nebyla dokonale tuhá soustava).

Vazbové síly

Pokud by soustava byla volná, byl by pohyb \(i\)-tého hmotného bodu popsán pohybovými rovnicemi

\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i = \mathbf{F}_i\),

kde \(m_i\) je hmotnost \(i\)-tého hmotného bodu a \(\mathbf{F}_i\) je výslednice sil (vnějších i vnitřních) působících na \(i\)-tý bod. Pro vázané soustavy však tyto rovnice nelze použít, protože jejich řešení obecně nesplňuje vazební podmínky. Mechanizmus vazby působí podobně, jako když na hmotné body působí dodatečné síly, které zaručují, že v případě pokud by okamžitý pohybový stav v nejbližším okamžiku vedl k odchylkám od předepsaných podmínek, budou se tyto dodatečné síly snažit uvést pohyb hmotného bodu do souladu se zadanými podmínkami. Takovéto síly se označují jako vazbové. Označíme-li jejich vazbovou sílu působící na \(i\)-tý hmotný bod jako \(\mathbf{R}_i\), potom je možné pohyb soustavy popsat jako

\(m_i\ddot{\mathbf{r}}_i = \mathbf{F}_i + \mathbf{R}_i\)

Řešení těchto rovnic by bylo ve shodě s vazbami. Síly \(\mathbf{F}_i\), které jsou výslednicemi všech vnitřních i vnějších sil působících na jednotlivé hmotné body (s výjimkou vazbových sil), musí být dány a říkáme jim síly dané (též explicitní nebo vtištěné). Vazbové síly však nejsou předem dány a závisí jak na počátečním pohybovém stavu soustavy, tak i na explicitních silách.

Druhy vazeb

Holonomní vazba

V nejjednodušším případě jsou vazby vyjadřovány v matematické formě jako vztahy mezi souřadnicemi jednotlivých bodů soustavy. Takové vazby se nazývají holonomní. Nejjednodušší podmínky lze zapsat jako \(r\) nezávislých vazbových rovnic ve tvaru

\(\Phi_i(x_1,y_1,z_1,x_2,...,z_n)=0\),

kde \(i=1,2,...,r\) je index vazby. Tyto vazby jsou časově neměnné a nazývají se skleronomní vazby. Počet stupňů volnosti \(\nu\) vázané soustavy je určen rozdílem počtu všech \(3n\) souřadnic a počtu nezávislých vazbových rovnic, tedy

\(\nu = 3n-r\)

Pokud lze vazby vyjádřit časově proměnnými rovnicemi, pak se hovoří o vazbách rheonomních. Obecně je lze vyjádřit ve tvaru

\(\Phi_i(x_1,y_1,z_1,x_2,...,z_n,t)=0\),

kde \(i=1,2,...,r\) je index vazby. Holonomní podmínky se dají také vyjádřit ve tvaru diferenciálních rovnic, např. skleronomní vazby \(f(x_k)=0\) lze psát ve tvaru

\(\sum_k \frac{\part f}{\part x_k}\mathrm{d}x_k = 0\)

Neholonomní vazba

Pokud nelze vazby vyjádřit pouze vztahy mezi souřadnicemi hmotných bodů soustavy, popř. časem, pak se hovoří o vazbách neholonomních. V takové vazební podmínce se může např. vyskytovat rychlost pohybu hmotného bodu soustavy. Obecně se jedná o diferenciální rovnice, které nelze integrací převést na podmínky holonomního tvaru. Pokud jsou tyto podmínky časově neměnné (tedy skleronomní), lze je psát ve tvaru lineárních vztahů mezi diferenciály souřadnic

\(\Phi_{i\alpha_1}\mathrm{d}x_1 + \Phi_{i\beta_2}\mathrm{d}y_1 + \Phi_{i\gamma_1}\mathrm{d}z_1 + \cdots + \Phi_{i\gamma_n}\mathrm{d}z_n = 0\)

pro \(i=1,2,...,r\). Pro rheonomní podmínky pak lze psát

\(\Phi_{i\alpha_1}\mathrm{d}x_1 + \Phi_{i\beta_2}\mathrm{d}y_1 + \Phi_{i\gamma_1}\mathrm{d}z_1 + \cdots + \Phi_{i\gamma_n}\mathrm{d}z_n + \Phi_{it}\mathrm{d}t = 0\)

pro \(i=1,2,...,r\).

Jednostranné a oboustranné vazby

Pokud vazby omezují pohyb hmotného bodu soustavy pouze z jedné strany, nazývají se jednostranné. Takové jsou např. vazby při styku dvou těles. Tyto vazby se vyjadřují nerovnostmi (a to jak holonomními, tak i neholonomními). Vazby omezující pohyb z obou stran jsou oboustranné.

Tuhá soustava hmotných bodů

Jsou-li vzdálenosti mezi jednotlivými hmotnými body neměnné, tzn. \(|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_k|=\mbox{konst.}\) pro všechna \(i, k\), pak říkáme, že se jedná o (dokonale) tuhou soustavu hmotných bodů.

Příklad

Jako příklad soustavy hmotných bodů může posloužit nějaké jednoduché těleso, např. malý kámen. Tento kámen se skládá z atomů, které můžeme považovat za hmotné body. Mezi těmito atomy (tedy hmotnými body) působí vnitřní síly, který tento kámen udržují pohromadě. Pokud na takový kámen budeme působit vnější silou, např. jím udeříme o zem, může tato vnější síla způsobit rozpad celé soustavy.

Související články

• Hmotný bod
• Mechanika soustavy hmotných bodů
• Hmotný střed
• Königova věta