V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Geometrický průměr

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
'''Geometrický průměr''' ''n'' nezáporných čísel <big>\(x_1, x_2, \dots, x_n</math> je definován jako ''n''-tá [[odmocnina]] jejich součinu:
+
'''Geometrický průměr''' ''n'' nezáporných čísel <big>\(x_1, x_2, \dots, x_n\)</big> je definován jako ''n''-tá [[odmocnina]] jejich součinu:
-
<big>\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}</math>.
+
<big>\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}\)</big>.
Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.
Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.
Řádka 13: Řádka 13:
Geometrický průměr je lineárně [[homogenní funkce]] (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí
Geometrický průměr je lineárně [[homogenní funkce]] (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí
-
:<big>\( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .</math>
+
:<big>\( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .\)</big>
[[Logaritmus]] geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:
[[Logaritmus]] geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:
-
:<big>\(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i</math>
+
:<big>\(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\)</big>
To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako [[zobecněný f-průměr]] s logaritmickou transformací ''f(x)''&nbsp;= ln&nbsp;''x'':
To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako [[zobecněný f-průměr]] s logaritmickou transformací ''f(x)''&nbsp;= ln&nbsp;''x'':
-
:<big>\(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).</math>
+
:<big>\(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).\)</big>
== Související články ==
== Související články ==

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Geometrický průměr n nezáporných čísel \(x_1, x_2, \dots, x_n\) je definován jako n-tá odmocnina jejich součinu:

\( G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}\).

Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.

Příklad

Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. tempo růstu cen bylo postupně 20 %, 10 %, poté -15 % a +10 %, pak průměrný koeficient růstu je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,0544 ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Vlastnosti

Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než aritmetický průměr. Rovnost nastane jedině když jsou všechny průměrované hodnoty stejné – viz AG nerovnost. To mj. umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.

Geometrický průměr je lineárně homogenní funkce (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí

\( G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .\)

Logaritmus geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:

\(\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\)

To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný f-průměr s logaritmickou transformací f(x) = ln x:

\(G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).\)

Související články


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Geometrick%C3%BD_pr%C5%AFm%C4%9Br“