V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Geometrické zobrazení

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Geometrické zobrazení|700}}
+
'''Geometrické zobrazení''' je [[zobrazení (matematika)|zobrazení]], které každému [[bod]]u <big>\(A\)</big> [[geometrický útvar|útvaru]] <big>\(U\)</big> přiřazuje právě jeden bod <big>\(A^\prime\)</big> útvaru <big>\(U^\prime\)</big>.
 +
Bod <big>\(A\)</big> je tzv. ''vzor'' a bod <big>\(A^\prime\)</big> se označuje jako ''obraz''.
 +
 +
== Klasifikace geometrických zobrazení ==
 +
=== Podle zachovávajících se vlastností ===
 +
Podle toho, které vlastnosti se při geometrickém zobrazení zachovávají a které se mění, lze geometrická zobrazení rozdělit na:
 +
 +
* [[shodné zobrazení]] - zachovávají [[velikost]] a [[tvar]]; Patří sem např. [[posunutí (geometrie)|posunutí]], [[rotace (geometrie)|rotace]] apod. – shodná zobrazení lze považovat za speciální případ [[podobné zobrazení|podobných zobrazení]],
 +
* [[podobné zobrazení]], zachovávají tvar, ale nikoliv nezbytně velikost; např. [[stejnolehlost]] – podobná zobrazení lze považovat za speciální případ [[afinní zobrazení|afinních zobrazení]],
 +
* [[afinní zobrazení]] – zobrazení zachovávající [[rovnoběžnost|rovnoběžnost přímek]]; např. [[zkosení]],
 +
* [[projektivní zobrazení]] – zobrazení zachovávající [[kolineárnost]] bodů, např. [[středové promítání]],
 +
* [[topologické zobrazení]] – zachovává se pouze příslušnost bodu k dané [[křivka|křivce]].
 +
 +
=== Podle dimenze prostoru ===
 +
Geometrická zobrazení lze rozdělit podle [[Dimenze vektorového prostoru|dimenze]] transformovaného [[prostor (geometrie)|prostoru]] a podle toho, zda vzor i obraz mají stejnou dimenzi.
 +
 +
==== Dimenze vzoru i obrazu jsou stejné ====
 +
* lineární – např. posunutí bodu po [[přímka|přímce]]
 +
* rovinné – oproti lineárním obsahuje některá další zobrazení, např. [[rotace (geometrie)|rotace]] kolem bodu
 +
* prostorové
 +
* vícedimenzionální
 +
 +
==== Dimenze vzoru a obrazu jsou různé ====
 +
* [[projektivní zobrazení]] – do této skupiny lze zařadit např. [[rovnoběžné promítání]], [[axonometrie]], [[perspektiva]], a jiné metody, často využívané např. v [[deskriptivní geometrie|deskriptivní geometrii]].
 +
 +
== Invariantní útvar ==
 +
Pokud pro nějakou dvojici bodů <big>\(A, A^\prime\)</big> platí <big>\(A=A^\prime\)</big>, pak bod <big>\(A\)</big> označujeme jako '''samodružný'''. Jestliže platí <big>\(U=U^\prime\)</big>, pak [[geometrický útvar|útvar]] <big>\(U\)</big> označíme jako '''samodružný ([[invariance|invariantní]])'''.
 +
 +
== Involutorní zobrazení ==
 +
Máme-li dva body <big>\(A, B\)</big>, pro které při daném zobrazení platí, že bod <big>\(B\)</big> je obrazem bodu <big>\(A\)</big> a současně je bod <big>\(A\)</big> obrazem bodu <big>\(B\)</big>, pak říkáme, že body <big>\(A, B\)</big> tvoří '''involutorní dvojici'''.
 +
 +
Zobrazení, které není [[identita (matematika)|identita]] a při kterém každý bod patří involutorní dvojici, nazýváme '''involutorním zobrazením (involucí)'''.
 +
 +
Opakovaná involuce (tedy složená sama se sebou) dává identitu. Příkladem jsou [[souměrnost]]i v (euklidovské) rovině a prostoru, např. [[zrcadlení]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Zobrazení (matematika)]]
 +
* [[Geometrie]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Geometrické zobrazení je zobrazení, které každému bodu \(A\) útvaru \(U\) přiřazuje právě jeden bod \(A^\prime\) útvaru \(U^\prime\).

Bod \(A\) je tzv. vzor a bod \(A^\prime\) se označuje jako obraz.

Obsah

Klasifikace geometrických zobrazení

Podle zachovávajících se vlastností

Podle toho, které vlastnosti se při geometrickém zobrazení zachovávají a které se mění, lze geometrická zobrazení rozdělit na:

Podle dimenze prostoru

Geometrická zobrazení lze rozdělit podle dimenze transformovaného prostoru a podle toho, zda vzor i obraz mají stejnou dimenzi.

Dimenze vzoru i obrazu jsou stejné

  • lineární – např. posunutí bodu po přímce
  • rovinné – oproti lineárním obsahuje některá další zobrazení, např. rotace kolem bodu
  • prostorové
  • vícedimenzionální

Dimenze vzoru a obrazu jsou různé

Invariantní útvar

Pokud pro nějakou dvojici bodů \(A, A^\prime\) platí \(A=A^\prime\), pak bod \(A\) označujeme jako samodružný. Jestliže platí \(U=U^\prime\), pak útvar \(U\) označíme jako samodružný (invariantní).

Involutorní zobrazení

Máme-li dva body \(A, B\), pro které při daném zobrazení platí, že bod \(B\) je obrazem bodu \(A\) a současně je bod \(A\) obrazem bodu \(B\), pak říkáme, že body \(A, B\) tvoří involutorní dvojici.

Zobrazení, které není identita a při kterém každý bod patří involutorní dvojici, nazýváme involutorním zobrazením (involucí).

Opakovaná involuce (tedy složená sama se sebou) dává identitu. Příkladem jsou souměrnosti v (euklidovské) rovině a prostoru, např. zrcadlení.

Související články


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Geometrick%C3%A9_zobrazen%C3%AD“